MATEMANIJA

Pozdrav, hitno mi treba ovaj zadatak.. ne znam ni kako poceti, pa ako ikako mozete da mi pomognete..
Naci [inlmath]x[/inlmath] u razvijenom obliku binoma [dispmath]\left(2^{2\log_3x}+5^{\log_3x}\right)^m[/dispmath] ako je [inlmath]m[/inlmath] rjesenje jednacine [inlmath]10^{\log(2+3+4+\cdots +m)}=\frac{5}{2}m-1[/inlmath], a kvadratni korijen treceg clana razvoja jednak je [inlmath]400\sqrt{6}[/inlmath].

Molim, ako može ubuduće bez tog hitno... Nemoj ostavljati svoje obaveze za poslednji trenutak, pa ti neće biti ni hitno...

Prvo iz jednačine [inlmath]10^{\log(2+3+4+\cdots +m)}=\frac{5}{2}m-1[/inlmath] odrediš koliko je [inlmath]m[/inlmath], koristeći osobinu da je [inlmath]a^{\log_ab}=b[/inlmath], kao i formulu za sumu aritmetičkog niza.

Zatim napišeš kako glasi treći član razvoja binoma, znajući koliko je [inlmath]m[/inlmath] i koristeći formulu za razvoj
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/dispmath]
i dobićeš jednačinu po [inlmath]x[/inlmath]...

Ne znam kako odrediti koliko je [inlmath]m[/inlmath], koju formulu za sumu aritmetickog niza. Da li mozda ovu: [inlmath]S=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)[/inlmath], ali sta da uvrstim u tu formulu, [inlmath]d=1[/inlmath], [inlmath]a_1=2[/inlmath], a [inlmath]n[/inlmath] je [inlmath]m[/inlmath], a sta sa [inlmath]S[/inlmath]? hvala

Pre svega iskoristi: [inlmath]10^{\log x}=x[/inlmath]

Onda imaš sledeće:
[dispmath]2+3+4+\cdots +m=\frac{5m}{2}-1[/dispmath]
Ovaj niz s leve strane ima početni član [inlmath]a_1=2[/inlmath], razlika je [inlmath]d=1[/inlmath], a broj članova niza [inlmath]m-1[/inlmath], pa je cela suma otuda:
[dispmath]S=\frac{m-1}{2}\cdot\left(4+(m-2)\right)=\frac{(m-1)(m+2)}{2}[/dispmath]
Dalje imaš jednačinu:
[dispmath]\frac{(m-1)(m+2)}{2}=\frac{5m}{2}-1[/dispmath]
Odatle lako odrediš [inlmath]m[/inlmath].

Dobila sam da je [inlmath]m=0[/inlmath], i da je [inlmath]m=4[/inlmath].. Uzimam je li tako da je [inlmath]m=4[/inlmath], mada nigdje ne pise da [inlmath]m[/inlmath] mora biti prirodan broj.. i sta trebam sad dalje..ako moze samo pocetak.. i hvala za sve

Ja dobijem [inlmath]2^{4\log_3x}\cdot 5^{2\log_3x}=160000[/inlmath].. I onda ne znam dalje :S

indira-aa je napisao:mada nigdje ne pise da [inlmath]m[/inlmath] mora biti prirodan broj..

Da [inlmath]m[/inlmath] mora biti prirodan broj vidi se iz date jednačine [inlmath]10^{\log(2+3+4+\cdots +m)}=\frac{5}{2}m-1[/inlmath], tačnije iz aritmetičkog niza [inlmath]2+3+4+\cdots +m[/inlmath].

indira-aa je napisao:Ja dobijem [inlmath]2^{4\log_3x}\cdot 5^{2\log_3x}=160000[/inlmath].. I onda ne znam dalje :S

Tu sad, pre svega, možeš da korenuješ obe strane, pa dobiješ
[dispmath]2^{2\log_3x}\cdot 5^{\log_3x}=400[/dispmath]
ali nije bilo potrebe ni doći do ove kvadrirane jednačine. Iz uslova da je kvadratni koren trećeg člana razvoja jednak [inlmath]400\sqrt{6}[/inlmath], pišemo jednačinu
[dispmath]\sqrt{{4\choose 2}\left(2^{2\log_3x}\right)^{4-2}\left(5^{\log_3x}\right)^2}=400\sqrt 6[/dispmath][dispmath]\cancel{\sqrt 6}\cdot 2^{2\log_3x}\cdot 5^{\log_3x}=400\cancel{\sqrt 6}[/dispmath][dispmath]2^{2\log_3x}\cdot 5^{\log_3x}=400[/dispmath]
i to je isto to što si i ti dobila, samo nekvadrirano.
U daljem postupku primeni sledeća svojstva:
[dispmath]a^{bc}=\left(a^b\right)^c[/dispmath][dispmath]a^c\cdot b^c=\left(a\cdot b\right)^c[/dispmath][dispmath]a^b=a^c\;\left(a>0\;\land\;a\ne 1\right)\quad\Rightarrow\quad b=c[/dispmath]

Hvalaaaa
Je li se dobije da je [inlmath]x=9[/inlmath]?

Da.

Hvala Vam puno, bez Vas to nebi mogla rijesiti..pozdrav

Pozdrav. Zanima me da li se u ovom zadatku dobije da je [inlmath]m=46[/inlmath], ako primjenim isti postupak kao i za prethodni zadatak, jer sam ja uradila taj zadatak i dobijem da je [inlmath]m=46[/inlmath], pa onda krenem raditi drugi dio zadatka, u kojem pise da je predzadnji clan razvoja jednak [inlmath]8281[/inlmath], dobijem ovako:
[dispmath]{46\choose45}\left(\sqrt{x+3}\right)^1\cdot1^{45}=8281\;?[/dispmath]
A zadatak glasi ovako:
Naci [inlmath]x[/inlmath] u razvijenom obliku binoma [inlmath]\left(\sqrt{x+3}+1\right)^m[/inlmath], ako je [inlmath]m[/inlmath] rjesenje jednacine [inlmath]1+3+5+\cdots+m=2116[/inlmath], a predzadnji clan razvoja je jednak [inlmath]8281[/inlmath].

Možeš odmah videti da [inlmath]m[/inlmath] ne može biti jednako [inlmath]46[/inlmath], budući da je [inlmath]m[/inlmath] član niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath], u kojem su svi članovi neparni. Prema tome, i [inlmath]m[/inlmath] mora biti neparno.

Pa kako onda da izrazim koliko je [inlmath]m[/inlmath]? Ako moze mala pomoc

Može pomoć, svakako. Napiši taj svoj postupak kojim si dobila da je [inlmath]m=46[/inlmath], i reći ćemo ti gde je greška.

Evo ovako: ja u formulu za sumu aritmetickog niza uvrstim da je [inlmath]a_1=1,\;d=2[/inlmath], pa imam: [inlmath]S_n=\frac{m}{2}(2\cdot1+(m-1)\cdot2)[/inlmath], pa dobijem [inlmath]S_n=\frac{m}{2}(2+2m-2)[/inlmath], [inlmath]S_n=\frac{m}{2}\cdot2m[/inlmath], [inlmath]S_n=\frac{2m^2}{2}[/inlmath], [inlmath]S_n=m^2[/inlmath].
Pa onda [inlmath]2116=m^2[/inlmath], pa je [inlmath]m=46[/inlmath]??

indira-aa je napisao:uvrstim da je [inlmath]a_1=1,\;d=2[/inlmath], pa imam: [inlmath]S_n=\frac{\color{red}m}{2}(2\cdot1+({\color{red}m}-1)\cdot2)[/inlmath]

Greška ti je obeležena crveno. Broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] nije [inlmath]m[/inlmath]. Broj članova niza [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] bi bio [inlmath]m[/inlmath], ali niz [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] (u kojem imamo samo neparne članove) nema isti broj članova kao niz [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] (u kojem imamo i parne i neparne članove).

Jedan od načina da odredimo broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] je – uočavanjem pravilnosti:

Za [inlmath]m=1[/inlmath], tj. u nizu koji se sastoji samo od člana [inlmath]1[/inlmath], imamo taj [inlmath]1[/inlmath] član.
Za [inlmath]m=3[/inlmath], tj. u nizu [inlmath]1,3[/inlmath], imamo [inlmath]2[/inlmath] člana.
Za [inlmath]m=5[/inlmath], tj. u nizu [inlmath]1,3,5[/inlmath], imamo [inlmath]3[/inlmath] člana.
Za [inlmath]m=7[/inlmath], tj. u nizu [inlmath]1,3,5,7[/inlmath], imamo [inlmath]4[/inlmath] člana.
[inlmath]\cdots[/inlmath]
Uočimo pravilnost [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] u nizu [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] imamo [inlmath]\frac{m+1}{2}[/inlmath] članova.

---

Do broja članova niza možemo, umesto uočavanjem pravilnosti, doći i malo eksplicitnije:
Broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] jednak je razlici broja članova niza [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] i broja članova niza [inlmath]2,4,6,\ldots,m-1[/inlmath].
Broj članova niza [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] iznosi, naravno, [inlmath]m[/inlmath].
Niz [inlmath]2,4,6,\ldots,m-1[/inlmath] ima isto onoliko članova koliko i niz s dvostruko manjim članovima, [inlmath]1,2,3,\ldots,\frac{m-1}{2}[/inlmath], a koji ima [inlmath]\frac{m-1}{2}[/inlmath] članova.

Znači, broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] jednak je
[dispmath]m-\frac{m-1}{2}=\frac{m+1}{2}[/dispmath]
Prema tome, u formulu za sumu članova niza [inlmath]1+3+5+\cdots+m[/inlmath] kao broj članova niza ne uvrštavaš [inlmath]m[/inlmath], već [inlmath]\frac{m+1}{2}[/inlmath].

Hvala puno, da li se dobije da je [inlmath]x=8278[/inlmath]?

Kako da naucim odredjivati clanove niza? Ima li neka najlaksa metoda? Ne vezano za ovaj niz, vec za neke druge?

indira-aa je napisao:Hvala puno, da li se dobije da je [inlmath]x=8278[/inlmath]?

Jeste, [inlmath]x=8278[/inlmath].

indira-aa je napisao:Kako da naucim odredjivati clanove niza? Ima li neka najlaksa metoda? Ne vezano za ovaj niz, vec za neke druge?

Nemoguće je dati neko posebno uputstvo. Samo logika i razmišljanje, baš kao u ovom zadatku. I, na kraju, obavezno proveri da li se dobijeni izraz uklapa za nekoliko različitih vrednosti promenljive koja figuriše u tom izrazu. Na primer, u ovom zadatku, pošto dobiješ da je broj članova niza jednak [inlmath]\frac{m+1}{2}[/inlmath], proveriš da li to važi za [inlmath]m=1[/inlmath], za [inlmath]m=3[/inlmath], za [inlmath]m=5[/inlmath]...

Za [inlmath]m=1[/inlmath], niz ima jedan član, [inlmath]1[/inlmath]. Broj članova niza je, po formuli, [inlmath]\frac{m+1}{2}=\frac{1+1}{2}=1[/inlmath]

Za [inlmath]m=3[/inlmath], niz je [inlmath]1,3[/inlmath], tj. ima [inlmath]2[/inlmath] člana. Po formuli, [inlmath]\frac{m+1}{2}=\frac{3+1}{2}=2[/inlmath]

Za [inlmath]m=5[/inlmath], niz je [inlmath]1,3,5[/inlmath], tj. ima [inlmath]3[/inlmath] člana. Po formuli, [inlmath]\frac{m+1}{2}=\frac{5+1}{2}=3[/inlmath]

Hvala ti, a kako bi npr, odredila sumu za ovaj niz:
[dispmath]1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1)\;?[/dispmath]

viewtopic.php?p=219#p219

I molim te da pitanja koja nemaju veze s tekućom temom postavljaš u zasebnu temu (Pravilnik, tačka 10.)