MATEMANIJA

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 2. razred

Neka familija parabola [inlmath]y=-x^2+bx+c[/inlmath] sadrzi zajednicku tacku. Dokazati da tjemena parabola te familije leze na jednoj paraboli.

Znaci,uopste ne znam kako da pocem. Ako neko moze da mi rastumaci pojam familija parabola ?

Uopšte, familija krivih predstavlja skup svih krivih za skup svih vrednosti nekog parametra koji ih predstavlja. Npr. kod linearne funkcije [inlmath]y=kx+n[/inlmath], parametri su [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]. Za sve vrednosti parametara [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] imamo razne prave [inlmath]y=kx+n[/inlmath] i skup svih tih pravih čini familiju pravih. Ako za jedan od ta dva parametra, recimo za [inlmath]n[/inlmath], uzmemo da je konstantan, npr. [inlmath]n=2[/inlmath], dobijamo pravu [inlmath]y=kx+2[/inlmath], za koju jedino znamo da će presecati [inlmath]y[/inlmath]-osu u tački [inlmath]\left(0,2\right)[/inlmath], ali njen nagib zavisi od parametra [inlmath]k[/inlmath]. I tada će skup svih takvih pravih koje prolaze kroz tačku [inlmath]\left(0,2\right)[/inlmath] činiti familiju pravih [inlmath]y=kx+2[/inlmath].

Slično i za familiju parabola. Čim se u jednačini parabole, [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath], bar neki od parametara [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] ili [inlmath]c[/inlmath] pojavljuje ne kao konkretna brojna vrednost, već kao opšti broj, onda ne možemo govoriti o nekoj određenoj paraboli, već o familiji parabola, koju čine sve te parabole za razne vrednosti parametara zadatih kao opšti brojevi. Npr. u ovom tvom zadatku, za [inlmath]a[/inlmath] je zadata konkretna brojna vrednost i iznosi [inlmath]a=-1[/inlmath], ali [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] su dati kao opšti brojevi. Budući da [inlmath]a[/inlmath] određuje oblik parabole, tj. da li će njeni kraci biti nagore ili nadole, „skupljeniji“ ili „rašireniji“ (možeš pogledati animaciju kvadratne funkcije), dok [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] ne utiču na oblik parabole već isključivo na njen položaj (tj. promenom ova dva parametra parabola se translira po koordinatnoj ravni), kod ovakve parabole [inlmath]y=-x^2+bx+c[/inlmath], pošto je [inlmath]a[/inlmath] poznato, mi tačno znamo njen oblik, ali ne znamo njen položaj u koordinatnom sistemu, tako da ne možemo govoriti o nekoj konkretnoj paraboli, već govorimo o familiji parabola.

Ono što u zadatku treba dokazati, to je da se temena svih tih parabola iz te familije parabola – nalaze na nekoj novoj paraboli. Znači, kad bi u koordinatni sistem ucrtavao, tačku po tačku, teme svake od tih parabola iz familije parabola, tada bi sve te tačke formirale jednu parabolu. Drugim rečima, treba pokazati da je geometrijsko mesto temena svih tih parabola iz familije parabola – jedna nova parabola.

Da bi to uradio, potrebno je da napišeš formule za [inlmath]x_T[/inlmath] i [inlmath]y_T[/inlmath], tj. za [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena parabole u zavisnosti od njenih parametara [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Zatim [inlmath]c[/inlmath] izraziš preko [inlmath]b[/inlmath], pri čemu koordinate zajedničke tačke svih parabola, [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath], smatraš poznatima (ja sam koordinate te tačke označio sa [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath] jer mi se tako čini najzgodnije, ti možeš i drugačije). Na kraju treba da odrediš vezu između [inlmath]y_T[/inlmath] i [inlmath]x_T[/inlmath], tako da u toj vezi ne figurišu [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], već isključivo poznate koordinate [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath] zajedničke tačke. Kad budeš napisao tu vezu, videćeš da ona zaista i predstavlja kvadratnu funkciju od [inlmath]x_T[/inlmath].

Dobro jasno mi je to da treba dokazati da je geometrijsko mjesto svih tjemena familije parabola jedna nova parabola. Ali ova cinjenica me zbunjuje Neka familija parabola [inlmath]y=−x^2+bx+c[/inlmath] sadrzi zajednicku tacku ! Kako moze svaka parabola iz ove familije ima jednu zajednicku tacku(jer je samo [inlmath]a[/inlmath] isto kod svih) to me zbunjuje i ne mogu to da skontam.

Evo, ovako:

: familija.png (3.61 KiB) Pogledano 2772 puta

Hmm,pojasnio si mi evo ja sam radio nesto pa ako mozes da pogledas.
Zajednicku tacku oznacimo sa [inlmath]P(x_0,y_0)[/inlmath]

Sada uvrstimo tu tacku u parabolu
[dispmath]y_0=-x_0^2+bx_0+c[/dispmath][dispmath]c=y_0+x_0^2-bx_0[/dispmath][dispmath]X_T=-\frac{b}{2}[/dispmath][dispmath]Y_T=-\frac{D}{4a}[/dispmath][dispmath]Y_T=-\frac{-\left(b^2-4\cdot(-1)\cdot c\right)}{-4}[/dispmath][dispmath]Y_T=\frac{b^2}{4}+c[/dispmath][dispmath]Y_T=y_0+x_0^2-bx_0+\frac{b^2}{4}[/dispmath]
I na kraju kada ubacim umjesto [inlmath]b[/inlmath] [inlmath]-2X_T[/inlmath] mislim [inlmath]b=-2X_T[/inlmath] dobijamo konacno
[dispmath]\enclose{box}{Y_T=y_0+x_0^2+2X_Tx_0+X_T^2}[/dispmath]

Sasvim je OK princip, samo što si napravio greščicu u koraku
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2}[/dispmath]
Treba da bude
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{b}{2}[/dispmath]
Znači, bez minusa.

Samim tim, i rešenje ne treba da bude
[dispmath]y_T=y_0+x_0^2{\color{red}+}2x_Tx_0+x_T^2[/dispmath]
već
[dispmath]y_T=y_0+x_0^2{\color{red}-}2x_Tx_0+x_T^2[/dispmath]

U pravu si tu sam pogrjesio jer sam isao da dobijem isti rezultat kao u rjesenju. Cak i u rjesenju je greska. Mislim isao sam na njihov rezultat.

Iako se to u zadatku ne traži, ako bismo odredili koordinate temena te nove parabole (koju određuju temena parabola iz familije), došli bismo do interesantnog zaključka.

Jednačina te parabole, do koje smo došli, glasi
[dispmath]y_T=x_T^2-2x_0x_T+y_0+x_0^2\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}
a=1\\
b=-2x_0\\
c=y_0+x_0^2
\end{cases}[/dispmath]
Koordinate temena te nove parabole obeležiću opet sa [inlmath]x_T[/inlmath] i [inlmath]y_T[/inlmath], pri čemu te oznake ne treba mešati s onima od malopre:
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\cancel 2x_0}{\cancel 2\cdot 1}=x_0[/dispmath][dispmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\cdot 1\cdot \left(y_0+x_0^2\right)-\left(-2x_0\right)^2}{4\cdot 1}=\frac{4y_0+\cancel{4x_0^2}-\cancel{4x_0^2}}{4}=y_0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{\left(x_T,y_T\right)=\left(x_0,y_0\right)}[/dispmath]
što znači da se teme dobijene parabole poklapa s tačkom koja je zajednička za sve parabole iz date familije.

Radi ilustracije, na prethodnu sliku familije parabola dodao sam i tu novu parabolu formiranu od njihovih temena (obojenu sivo):

: familija.png (3.95 KiB) Pogledano 2744 puta

Ne znam kako mislis to se na trazi u zadatku kaze dokazati da se tjemena parabola te familije leze na jednoj paraboli. Kada vidimo ovaj oblik sa [inlmath]X_T[/inlmath] i [inlmath]Y_T[/inlmath]. Znamo da je to oblik parabole kvadratne funkcije. Ovo je zadnji korak i u rjesenju.A ne znam sto si dokazivo ovo da je ta zajednicka tacka tjeme ove parabole. U rjesnju to nisu radili.

Pa, upravo sam za to i naglasio da se to u zadatku ne traži, zato u rešenju nisu to ni radili, nego sam to ja uradio ovako, pride, jer mi se učinilo interesantnim.

Ne moramo se uvek ograničavati samo na ono što se u zadatku traži, zar ne?

Znači, još jednom da pojasnim – u zadatku se tražilo da se dokaže da geometrijsko mesto temena ovih parabola čini jednu novu parabolu (na prethodnoj slici obeleženu sivo). I, to smo i dokazali. E, posle toga sam ja još pokazao da se teme te sive parabole poklapa s onom zajedničkom tačkom svih parabola iz familije. Na prethodnoj slici se to jasno i vidi.

Ako te sve to zbunjuje, nema veze, onda samo ignoriši ovaj i prethodni moj post.

Ma ne zbunjuje me. Od viska glava ne boli :mrgreen:

MATEMANIJA

Familija parabola

Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola

Re: Familija parabola