MATEMANIJA

Rijesenje nejednacine [inlmath]\frac{1}{x}\leq 5[/inlmath] je skup oblika?
Ja kada sam radio nasao sam da je skup oblika [inlmath]\left[b,+\infty\right)[/inlmath] ... ali rijesenje mi govori da je skup oblika [inlmath]\left(-\infty,a\right)\cup\left[b,+\infty\right)[/inlmath] ... Je li ima neko objasnjenje zasto je tako?

Gledaj da ti u nazivniku ne smije biti [inlmath]0[/inlmath].

A da... znaci moram imati i uslov da je [inlmath]x\neq 0[/inlmath] pa mi zbog toga i daje dio koji ide [inlmath]\left(-\infty ,a\right)[/inlmath] .
Hvala na odgovoru

Svakako da mora biti [inlmath]x\ne 0[/inlmath], ali to nije baš mnogo u vezi s time što se dobija rešenje oblika [inlmath]\left(-\infty,a\right)\cup\left[b,+\infty\right)[/inlmath].
Radi rešavanja nejednačine po [inlmath]x[/inlmath], treba, zapravo, [inlmath]x[/inlmath] prebaciti na desnu stranu, tako da ono dođe iz imenioca u brojilac. Tom prilikom će se smer znaka nejednakosti promeniti ako je [inlmath]x[/inlmath] negativno, a ostaće isti ako je [inlmath]x[/inlmath] pozitivno. To znači, moramo odvojeno razmatrati slučajeve [inlmath]x<0[/inlmath] i [inlmath]x>0[/inlmath] (već je rečeno da [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti nula, pa taj slučaj i ne obuhvatamo):

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{x<0}[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{x}\le 5\quad\Rightarrow\quad1\ge 5x\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{5}\ge x[/dispmath]
što u preseku s uslovom prvog slučaja, [inlmath]x<0[/inlmath], daje konačno rešenje prvog slučaja,
[dispmath]x<0\quad\land\quad x\le\frac{1}{5}[/dispmath]
a to je
[dispmath]x<0[/dispmath]

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{x>0}[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{x}\le 5\quad\Rightarrow\quad1\le 5x\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{5}\le x[/dispmath]
što u preseku s uslovom prvog slučaja, [inlmath]x>0[/inlmath], daje konačno rešenje prvog slučaja,
[dispmath]x>0\quad\land\quad x\ge\frac{1}{5}[/dispmath]
a to je
[dispmath]x\ge\frac{1}{5}[/dispmath]

I, unija rešenja ova dva slučaja će biti
[dispmath]x<0\quad\lor\quad x\ge\frac{1}{5}[/dispmath]
a to se može napisati i kao
[dispmath]x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left[\frac{1}{5},+\infty\right)[/dispmath]

Hvala Daniele na objasnjenju