MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
20. zadatak

Skup svih rjesenja nejednacine [inlmath]\log_{|x|}\left(5x^2-1\right)>2[/inlmath] je?
Odgovor kaze [inlmath](-\infty,-1)\cup\left(\frac{-1}{2},\frac{-1}{\sqrt5}\right)\cup\left(\frac{1}{\sqrt5},\frac{1}{2}\right)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Postavio sam 2 uslova ovde,
1. da mi je [inlmath]5x^2-1>|x|^2[/inlmath] za [inlmath]|x|>1[/inlmath]
2. da mi je [inlmath]5x^2-1<|x|^2[/inlmath] za [inlmath]|x|<1[/inlmath]

za 1. slucaj sam uradio kvadratnu jednacinu [inlmath]x_{1,2}[/inlmath] i dobio da mi je [inlmath]x_1=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]x_2=\frac{-1}{2}[/inlmath], sto se odma vidi da nije tacno kao dato rjesenje zadatka, pa ima li iko prijedlog ili ako moze neko ovo uraditi do kraja?

Jesi li postavio uslov za definiciono područije logartima?

Kad rešavaš kvadratnu nejednačinu, ne možeš dobiti samo dva rešenja. Dva rešenja možeš dobiti onda kad rešavaš kvadratnu jednačinu.
Znaš li princip rešavanja kvadratne nejednačine? Rešavaš je prvo kao jednačinu, odrediš ta dva rešenja jednačine (koja predstavljaju nule kvadratne funkcije) i zatim posmatraš da li će kvadratna funkcija imati željeni predznak unutar ili izvan intervala ograničenog tim nulama.

Ovde možeš to raditi i na jednostavnije načine, budući da dobijaš kvadratne nejednačine kojima je koeficijent uz linearni član jednak nuli. Konkretno, za prvi slučaj:
[dispmath]5x^2-1>|x|^2\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-1>0[/dispmath] E sad, to možeš rešavati standardnim načinom, određujući prvo nule onako kako si ih odredio, zatim uočavajući da će kvadratna funkcija imati željeni (pozitivan) predznak izvan intervala ograničenog nulama, što znači [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath] i tražeći zatim presek s uslovom prvog slučaja, [inlmath]|x|>1[/inlmath], što daje rešenje prvog slučaja, [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Možeš i na drugi način, tako što napišeš
[dispmath]4x^2-1>0\quad\Longrightarrow\quad x^2>\frac{1}{4}[/dispmath] pa odatle, intuitivno,
[dispmath]x<-\frac{1}{2}\;\lor\;x>\frac{1}{2}[/dispmath] pa opet tražiš presek s uslovom prvog slučaja...

Ima i treći način, rastaviti [inlmath]4x^2-1[/inlmath] kao razliku kvadrata:
[dispmath]4x^2-1>0\quad\Longrightarrow\quad(2x+1)(2x-1)>0[/dispmath] Iz čega sledi
[dispmath](2x+1>0\;\land\;2x-1>0)\;\lor\;(2x+1<0\;\land\;2x-1<0)[/dispmath] pa to dalje sređuješ...

Isto uradiš i za drugi slučaj i, kad si našao rešenja i prvog i drugog slučaja, nađeš zatim njihovu uniju i, na samom kraju, presek dobijenog skupa rešenja s uslovom definisanosti početne logaritamske nejednačine (ovo što je Gamma spomenuo)...

Prošlo je dugo od ove teme, ali evo napisaću i konačno rješenje (nadam se da je tako).
Funkcija je [inlmath]\log_{|x|}\left(5x^2-1\right)>2[/inlmath], pa imamo 2 uslova:
[dispmath]1.\quad5x^2−1>|x|^2\quad\text{za}\quad|x|>1\\
2.\quad5x^2−1<|x|^2\quad\text{za}\quad|x|<1[/dispmath] Radim prvi uslov:
[dispmath]5x^2-1>|x|^2\\
x^2>\frac{1}{4}\\
x<-\frac{1}{2}\\
x>\frac{1}{2}[/dispmath] Iz ovog uslova dobijem [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath].
Sada imam uslov [inlmath]|x|>1[/inlmath] i iz ovoga dobijem [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Radim drugi uslov:
[dispmath]5x^2-1<|x|^2\\
x^2<\frac{1}{4}\\
x>-\frac{1}{2}\\
x<\frac{1}{2}[/dispmath] Iz ovog uslova dobijem [inlmath]x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/inlmath].
Sada imam uslov [inlmath]|x|<1[/inlmath] i iz ovoga dobijem [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Uradio sam 2 potrebna uslova, sada mi treba oblast definisanosti. Njega dobijem kada [inlmath]5x^2-1>0[/inlmath] iz ovoga dobijem
[dispmath]5x^2>1\\
x^2>\frac{1}{5}[/dispmath] i dobijem opet 2 rjesenja [inlmath]x<-\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath] i [inlmath]x>\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath]. Iz ovog uslova dobijem [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt5}\right)\cup\left(\frac{1}{\sqrt5},+\infty\right)[/inlmath]

I kada na kraju nađem presjeke svih ovih rješenja dobijem i konačno koje glasi: [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt5}\right)\cup\left(\frac{1}{\sqrt5},\frac{1}{2}\right)\cup(1,+\infty)[/inlmath]

P.S. nece da mi pokazuje "underline" rezultate, nego daje neke cudne komande i ne mogu ih promjeniti, nadam se da se razumije kakav je rezultat.

Evo pregledao sam ja ispravno je. Jedina stvar koja pravi malu zabunu je [inlmath]x[/inlmath] u bazi a ovo ostalo je sve lako.

Gosha je napisao:P.S. nece da mi pokazuje "underline" rezultate, nego daje neke cudne komande i ne mogu ih promjeniti, nadam se da se razumije kakav je rezultat.

Vidim da ti je to u međuvremenu korigovano. Tvoja greška je bila to što si unutar Latex-tagova stavio u-tagove (koje inače koristiš za podvlačenje van Latex-izraza), ali ne i unutar Latex-izraza, već u tom slučaju koristiš posebnu Latex-komandu \underline{} (unutar vitičastih zagrada staviš izraz koji treba da se prikaže podvučeno.

Što se samog tvog postupka tiče, sve ti je tačno, osim

Gosha je napisao:Iz ovog uslova dobijem [inlmath]x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/inlmath].
Sada imam uslov [inlmath]|x|<1[/inlmath] i iz ovoga dobijem [inlmath]x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

gde iz [inlmath]x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i [inlmath]|x|<1[/inlmath] treba da se dobije, kao njihov presek, [inlmath]x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)[/inlmath]. Ali, budući da si kasnije primenio ispravan rezultat za taj slučaj, pretpostavljam da je to samo greška prilikom prekucavanja u Latex.