Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
8. zadatak

Broj cjelobrojnih rjesenja nejednacine [inlmath]\sqrt{x^2-1}<x+1[/inlmath] koja pripadaju segmentu [inlmath]\left[-100,100\right][/inlmath] jednak je?
Odgovor kaze [inlmath]100[/inlmath]

Ja nemam pojma da li sam pravu oblast matematike izabrao, niti znam kako se ovaj zadatak radi. Moze mala pomoc?

U redu je oblast – iracionalne nejednačine, kao što je ova, spadaju pod „Algebru“.

1. Postavi uslov definisanosti jednačine – potkorena veličina mora biti veća ili jednaka nuli;
2. Pre kvadriranja obe strane nejednačine, pošto bi se kvadriranjem izgubila informacija o predznaku, postavi uslov da, pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], a desna strana strogo veća od leve, odatle sledi da desna strana mora biti strogo veća od nule;
3. Kvadriraj obe strane (pošto su obe strane nejednačine pre kvadriranja bile [inlmath]\ge0[/inlmath], kvadriranjem se ne menja smer znaka nejednakosti);
4. Reši nejednačinu po [inlmath]x[/inlmath];
5. Nađi presek dobijenih rešenja nejednačine s uslovima pod 1) i 2), kao i sa zadatim uslovom da rešenje mora biti ceo broj u intervalu [inlmath][-100,100][/inlmath].

E ovako sam ja to poceo:

1) [inlmath]x^2-1\geq0[/inlmath], odavde slijedi da mi je [inlmath]x^2=1[/inlmath], i imam 2 rjesenja [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=-1[/inlmath] i kada nacrtam parabolu dobijem [inlmath]x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)[/inlmath]

2) [inlmath]x+1>0[/inlmath], ovo se lako rjesi i dobijem [inlmath]x\in(-1,+\infty)[/inlmath]

3) [inlmath]x^2-1<(x+1)^2[/inlmath] (kada sve kvadriram) [inlmath]\cancel{x^2}-1<\cancel{x^2}+2x+1,\;-1<2x+1,\;2x>-2,\;x>-1[/inlmath] i dobijem uslov [inlmath]x\in(-1,+\infty)[/inlmath]

I kada nacrtam sva 3 presjeka na [inlmath]x[/inlmath]-osi dobijem da mi [inlmath]x\in[1,+\infty)[/inlmath] i sad ne razumijem kako da dodjem do onog rjesenja koje mi je dato

Prvo nađeš presek intervala koji si dobio, [inlmath][1,+\infty)[/inlmath], i zadatog intervala, [inlmath][-100,100][/inlmath]. Taj presek će biti [inlmath][1,100][/inlmath].
Zatim, pošto se u zadatku traži broj celobrojnih rešenja, odrediš koliko ima celih brojeva na tom intervalu [inlmath][1,100][/inlmath].