MATEMANIJA

Krug II, 488. d), molim za pomoc.
[dispmath]x^{x^{1/4}+y^{1/2}}=y^{8/3}[/dispmath][dispmath]y^{x^{1/4}+y^{1/2}}=x^{2/3}[/dispmath]

Pretpostavljam da se u zadatku traži da se sistem reši po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]?

Počni tako što ćeš obe strane svake od te dve jednačine logaritmovati za osnovu [inlmath]y[/inlmath], s ciljem da [inlmath]x[/inlmath] izraziš preko [inlmath]y[/inlmath] (naravno, prethodno proveriš da li su uvek ispunjeni uslovi [inlmath]x,y>0,\:y\ne 1[/inlmath] da bi logaritmovanje smelo da se obavi, a ako neki od tih uslova nije uvek ispunjen, onda takve slučajeve ispituješ zasebno).

Hvala, pokušaću tako čim pređem logaritme. I meni je zaličilo da bi ovaj zadatak nekako bolje spadao u poglavlje logaritmovanja. Ali do tada, da li bi mogao da mi daš nekakvu barem početnu ideju dok sam još u oblasti eksponencijalnih jednačina? Imam utisak da je ovo nešto mnogo lako ali da sam ja u blokadi. Ili to, ili se traži neki štos koji bi baš vredelo naučiti.

Može i bez logaritama. Prvu jednačinu (i levu i desnu stranu) digneš na [inlmath]x^{1/4}+y^{1/2}[/inlmath],
[dispmath]\left(x^{x^{1/4}+y^{1/2}}\right)^{x^{1/4}+y^{1/2}}=\left(y^{8/3}\right)^{x^{1/4}+y^{1/2}}[/dispmath]
Napišeš zatim to u obliku
[dispmath]x^{\left(x^{1/4}+y^{1/2}\right)^2}=\left(y^{x^{1/4}+y^{1/2}}\right)^{8/3}[/dispmath]
i onda, na osnovu druge jednačine sistema, [inlmath]y^{x^{1/4}+y^{1/2}}[/inlmath] na desnoj strani prethodne jednačine napišeš kao [inlmath]x^{2/3}[/inlmath]:
[dispmath]x^{\left(x^{1/4}+y^{1/2}\right)^2}=\left(x^{2/3}\right)^{8/3}[/dispmath]
izmnožiš eksponente na desnoj strani,
[dispmath]x^{\left(x^{1/4}+y^{1/2}\right)^2}=x^{16/9}[/dispmath]
Sada primeniš osobinu da iz [inlmath]a^b=a^c[/inlmath] (gde je [inlmath]a>0[/inlmath]) sledi [inlmath]a=1[/inlmath] ili [inlmath]b=c[/inlmath]...

Mislim da dalje nije teško, pokušaj, pa javi ako treba da se pomaže.

Treba da dobiješ dva para mogućih rešenja: [inlmath]\left(x,y\right)=\left(\frac{16}{81},\frac{4}{9}\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(x,y\right)=\left(1,1\right)[/inlmath].