MATEMANIJA

Matematika srednja škola.
Zadatak je:
[dispmath]\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}[/dispmath]
Jedan dipl.ing. je rešio ovako:
[dispmath]\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{(1-x)(1-x)}=\\
\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{(1-x)^2}(1-x)}=\frac{1}{\sqrt{(1+x)(1-x)}(1-x)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(1-x)}[/dispmath]
Prof.matematike ovako:
Treba racionalizirati nazivnik:
[dispmath]\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{\sqrt{(1-x)(1+x)}}{(1+x)(1-x)^2}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{\left(1-x^2\right)(1-x)}[/dispmath]
Dipl.ing. pita: zašto?

Zanima me vaš odgovor. Hvala.

Ja ne vidim grešku ni u jednome načinu riješavanja. Rješenje je potpuno isto samo racionališi rješenje od dipl.ing-a. sa [inlmath]\sqrt{1-x^2}[/inlmath].

Hvala. Sve to znam, ali pitanje je bilo (od dipl.ing-a) zašto treba racionalizirati nazivnik? Hvala.

Ljepše je kada nema korjena u nazivniku.Vidjećeš u većini rješenja kod algebarskih izraza rješenje je uvijek racionalisano.

Jednostavno, kao standardna forma je usvojeno to, da se iracionalni izrazi (tj. koreni) pišu u brojiocu, a prirodni brojevi u imeniocu.

Osim toga, zapisivanje svih izraza u takvoj standardnoj formi omogućava nam da uočimo izraze koji su međusobno slični – npr. kad bismo imali izraze [inlmath]\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath] i [inlmath]3\sqrt2[/inlmath], ne bismo odmah na prvi pogled mogli da odredimo vezu između ta dva izraza, dok ako bi ti izrazi bili napisani kao [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] i [inlmath]3\sqrt2[/inlmath], odmah bismo mogli videti da je drugi šest puta veći od prvog. To je prednost pisanja svih izraza u standardnoj, racionalizovanoj formi.

Drugo, ako treba bez upotrebe kalkulatora da odrediš aproksimativnu vrednost nekog izraza u kom figuriše npr. [inlmath]\sqrt2[/inlmath], pri čemu znaš da je [inlmath]\sqrt2\approx1,41[/inlmath], svakako ti je lakše kada se [inlmath]\sqrt2[/inlmath] nalazi u brojiocu pa ga samo podeliš prirodnim brojem iz imenioca, nego da prirodni broj iz brojioca deliš sa [inlmath]\sqrt2[/inlmath] koji se nalazi u imeniocu. Znači, lakše ćeš kod izraza [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] podeliti [inlmath]\sqrt2[/inlmath] dvojkom, nego što ćeš u neracionalizovanom obliku tog izraza, [inlmath]\frac{1}{\sqrt 2}[/inlmath], jedinicu podeliti sa [inlmath]1,41[/inlmath].

I treće, ako imamo izraz [inlmath]\frac{1}{3+\sqrt5}[/inlmath], on je nezgodan ako želimo da ga razložimo na dva sabirka. Ali, posle racionalizacije, kad dobijemo [inlmath]\frac{3-\sqrt5}{4}[/inlmath], njega već možemo vrlo lako razložiti, [inlmath]\frac{3}{4}-\frac{\sqrt5}{4}[/inlmath].