MATEMANIJA

Ako neko može da pogleda gde grešim... Hvala unapred
[dispmath]\log_\frac{1}{2}\log_2\frac{1+2x}{1+x}>0[/dispmath][dispmath]\log_2\frac{1+2x}{1+x}<1[/dispmath]
Treba li da se promeni znak?
[dispmath]\frac{1+2x}{1+x}<2[/dispmath][dispmath]\frac{-1}{1+x}<0[/dispmath][dispmath]1+x>0[/dispmath][dispmath]x>-1[/dispmath]
uslov: [inlmath]\frac{1+2x}{1+x}>0[/inlmath]
R: [inlmath]x\in\left(\frac{-1}{2},+\infty\right)[/inlmath]

prvo odrediti uslove, numerus uvijek mora biti veci od [inlmath]0[/inlmath]

e sad ovu tvoju prvo jednacinu i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i ovaj drugi logaritam stepenuj sa [inlmath]-1[/inlmath]

pa ces dobiti [inlmath]\log_2\left(\frac{1}{\log\cdots}\right)[/inlmath]

u ovom slucaju ova drugi logaritam mora biti manji od jedan ali i pozitivan

idem sad u skolu, pa ako te sta bude zbunjivalo pitaj

@andrijana_
Ukratko, sve ti je OK osim što si zaboravila da postaviš i uslov da je [inlmath]\log_2\frac{1+2x}{1+x}>0[/inlmath] (jer je sve to takođe numerus logaritma i, kao takav, mora biti pozitivan).
Uz taj uslov, dobićeš ispravno rešenje [inlmath]x\in\left(0,+\infty\right)[/inlmath].

andrijana_ je napisao:[dispmath]\log_\frac{1}{2}\log_2\frac{1+2x}{1+x}>0[/dispmath][dispmath]\log_2\frac{1+2x}{1+x}<1[/dispmath]
Treba li da se promeni znak?

Treba, jer kada se baza logaritma nalazi u intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], kao u ovom slučaju, tada je logaritam opadajuća funkcija.

@Sinisa
Taj postupak sa stepenovanjem na [inlmath]-1[/inlmath] nije pogrešan, ali u ovom zadatku nije ni potreban.

Auu, ne da sam zaboravila, nego nisam znala da sve to gledam kao numerus
Okej, sad da sumiram, imam dva uslova (onaj sto sam napisala i onaj sto si ti napisao) i ovo sto sam resavala...
Hvala puno sto mi pomazete

Siniša možeš li samo da započenš taj način sa stepenovanjem? Napiši samo 2-3 reda da vidim kako si to zamislio.Meni to izgleda nekako zakomplikovano bezveze. Jesi li misio da iskoristiš svojstvo [inlmath]\log_ba=\frac{1}{\log_ab}[/inlmath]?

andrijana_ je napisao:Okej, sad da sumiram, imam dva uslova (onaj sto sam napisala i onaj sto si ti napisao) i ovo sto sam resavala...

Uslovi bi bili sledeći:

[inlmath]1+x\ne0[/inlmath] jer se [inlmath]1+x[/inlmath] nalazi u imeniocu

[inlmath]\frac{1+2x}{1+x}>0[/inlmath] jer je to numerus logaritma

[inlmath]\log_2\frac{1+2x}{1+x}>0[/inlmath] jer je to takođe numerus logaritma

Za osnove ne postavljamo nikakve uslove, jer su one zadate kao pozitivne konstante različite od [inlmath]1[/inlmath], prema tome, zadovoljavaju uslove.

Jesi li misio da iskoristiš svojstvo [inlmath]\log_ba=\frac{1}{\log_ab}[/inlmath]?

- koristio sam svojstvo da bazu i numerus mozes stepenovati istim brojem a da se vrijednost logartima ne promijeni...

Sad mi je jasno.Nije se vidilo gore jer nisi do kraja napisao onaj postupak.Mada kao što je Daniel rekao to nije potrebno.Mislim može se i bez toga uraditi.Šta si mislio da ćeš postići s tim stepenovanjem?

dobijes iste baze i onda je jednostavnije shvatiti kada ce taj izraz biti pozitivan...

Misliš neće se promjenuti znak?

Malo ponavljam, pa nisam siguran da li je tačno:
[dispmath]\log_\frac{1}{3}\frac{x-2}{3x+1}\leq1[/dispmath][dispmath]\log_\frac{1}{3}\frac{x-2}{3x+1}\geq\log_\frac{1}{3}\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{x-2}{3x+1}\geq\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad\frac{x-2}{3x+1}-\frac{1}{3}\geq0\quad\Rightarrow\quad\frac{3(x-2)-(3x+1)}{3(3x+1)}\geq0\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad\frac{3x-6-3x-1}{3(3x+1)}\geq0\quad\Rightarrow\quad\frac{-7}{9x+3}\geq0[/dispmath]
[dispmath]9x+3\geq0\qquad/:3\\
3x+1\geq0\\
3x\geq-1\\
x\geq-\frac{1}{3}[/dispmath]
[dispmath]\left[-\frac{1}{3},+\infty\right>[/dispmath]
Hvala.

treba biti: [inlmath]9x+3<0[/inlmath] jer vec imas [inlmath]-7[/inlmath] u brojiocu... a kolicnik ta dva broja ce biti pozitivan kada su oba negativna ili oba pozitivna, [inlmath]-7[/inlmath] nikad nije pozitivno tako da brojilac mora biti negativan...

- i jos jedna napomena, znak nejednakosti mijenjas kada krenes da im poredis numeruse, ne prije... ovako izgleda nepregledno i netacno

Upravo tako, znači, ovo bi bio ispravan deo postupka:
[dispmath]\log_\frac{1}{3}\frac{x-2}{3x+1}\leq1[/dispmath][dispmath]\log_\frac{1}{3}\frac{x-2}{3x+1}{\color{red}\leq}\log_\frac{1}{3}\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{x-2}{3x+1}\geq\frac{1}{3}[/dispmath]
Crveno sam obeležio razliku u odnosu na tvoj postupak.

I, nemoj zaboraviti, potrebno je i da odrediš oblast definisanosti nejednačine (imenilac različit od nule, numerus logaritma strogo pozitivan).

O.K. Hvala. Ali molim vas koje je konačno rešenje?

numerus mora biti pozitivan ; [inlmath]9x+3<0[/inlmath] - nadji presjek ta dva skupa i dobices konacno rjesenje...

konacno rjesenje: [inlmath]x<-\frac{1}{3}[/inlmath]