MATEMANIJA

Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] krijeni [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] jednacine [inlmath]mx^2+2(m-1)x-4=0[/inlmath] zadovoljavaju uslov [inlmath]x_1<3<x_2[/inlmath]

a [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] moze biti tacno samo ako je [inlmath]2a<0[/inlmath]

i ja dobijem da ne postoji takav parametar [inlmath]m[/inlmath] mozda je greska u racunu a mozda i u samoj postavci zadatka

Sinisa je napisao:a [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] moze biti tacno samo ako je [inlmath]2a<0[/inlmath]

Može biti tačno i ako je [inlmath]2a>0[/inlmath], sve zavisi od toga koje rešenje obeležiš sa [inlmath]x_1[/inlmath], a koje sa [inlmath]x_2[/inlmath]:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\displaystyle a>0
\end{array}\quad\right\}\quad\Rightarrow\quad x_1<x_2[/dispmath]

Sinisa je napisao:i ja dobijem da ne postoji takav parametar [inlmath]m[/inlmath] mozda je greska u racunu a mozda i u samoj postavci zadatka

Ja dobijem da je [inlmath]\displaystyle0<m<\frac{2}{3}[/inlmath].

dobijem i ja negdje da se [inlmath]m[/inlmath] nalazi u tom intervalu ali mislim da mi se to rjesenje ponisti sa nekim drugim uslovom, moram posle to provjeriti

ustvari ja dobijem jednu apsolutnu vrijednost u postavci zadatka

pa imam uslov kada je [inlmath]m>-1[/inlmath] i kada je [inlmath]m<-1[/inlmath]

aj mi napisi svoj postupak jer mi je stvarno tesko naci gresku u mom

Pa što ne napisa ti svoj postupak, treba li pomoć tebi, ili meni...?

Napiši izraze za oba rešenja i uprosti te izraze (nezavisno od toga koje ćeš rešenje obeležiti sa [inlmath]x_1[/inlmath] a koje sa [inlmath]x_2[/inlmath]). Dobićeš da je jedno rešenje jednačine uvek [inlmath]-2[/inlmath] (nezavisno od parametra [inlmath]m[/inlmath]), a drugo [inlmath]\frac{2}{m}[/inlmath]. E pošto je ovo rešenje koje je uvek [inlmath]-2[/inlmath] takođe uvek manje od [inlmath]3[/inlmath], znači da ovo drugo rešenje, koje iznosi [inlmath]\frac{2}{m}[/inlmath], treba da bude veće od [inlmath]3[/inlmath]...

pa dobijem i ja takvo rjesenje kada ,,obrnem,, [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath]

ali mi nije jasno zasto to moram uraditi, ja sam radio zadatak na nacin da je prvo rjesenje [inlmath]x_1[/inlmath] sa ,,[inlmath]+[/inlmath],,

posto imam apsolutnu vrijednost imam jedan oblik rjesenja kada je [inlmath]x>-1[/inlmath] i drugi kada je [inlmath]x<-1[/inlmath]

u ovom drugom slucaju dobijem rjesenje kao tvoje [inlmath]\left(0,\frac{2}{3}\right)[/inlmath] ali mi se to ne poklapa sa ovim prethodnim uslovom da je [inlmath]x<-1[/inlmath]

Ako radis da je prvo resenje [inlmath]x_1[/inlmath] sa znakom [inlmath]+[/inlmath] dobices:
[dispmath]x_1=\frac{-2(m-1)+2(m+1)}{2m}=\frac{2}{m}[/dispmath]
A za drugo resenje je [inlmath]x_2[/inlmath] sa znakom [inlmath]-[/inlmath] bice:
[dispmath]x_2=\frac{-2(m-1)-2(m+1)}{2m}=-2[/dispmath]
Ti nigde ovde nemas uslov da je [inlmath]m<-1[/inlmath] ili [inlmath]m>-1[/inlmath] (jedino da je [inlmath]m\ne-1[/inlmath] zbog [inlmath]D\ne0[/inlmath])... Vec u sklopu resenje kvadratne jednacine imas razmotrene slucajeve ispred korena ([inlmath]+[/inlmath] i [inlmath]-[/inlmath]) tako da za tim nema nikakve potrebe. Recimo i za [inlmath]m=-3[/inlmath] a samim tim [inlmath]m<-1[/inlmath] iako je [inlmath]m+1<0[/inlmath] postojala bi dva resenja: i sa [inlmath]+[/inlmath] i sa [inlmath]-[/inlmath].

ali izraz [inlmath](m-1)[/inlmath] je bio prvo kvadriran sto znaci da on mora biti pozitivan... ne mogu ja samo tako promijeniti predznak

ta apsolutna vrijednost mora biti razmatrana

Tačno je da [inlmath]\sqrt{\left(m+1\right)^2}[/inlmath] daje [inlmath]\left|m+1\right|[/inlmath], ali, budući da uzimamo i rešenje s plusem i rešenje s minusom ispred korena, znak apsolutne vrednosti možemo i zanemariti (mislim da je tako nešto i Stefanowsky napisao, ako sam dobro razumeo). Znači,
[dispmath]x_{1,2}=\frac{2\left(1-m\right)\pm\sqrt{4\left(m-1\right)^2+16m}}{2m}=\cdots=\frac{1-m\pm\left|m+1\right|}{m}[/dispmath]
Mi sad ne znamo koje rešenje će biti manje a koje veće, jer ne znamo predznak parametra [inlmath]m[/inlmath] od kojeg zavisi predznak imenioca.
Ako je [inlmath]m<0[/inlmath], tada će manje rešenje biti ono s plusem ispred apsolutne vrednosti, a veće ono s minusom.
Ako je [inlmath]m>0[/inlmath], situacija je obrnuta – manje rešenje će biti ono s minusom, a veće ono s plusem. Ali, da ne bismo sad odvojeno razmatrali ta dva slučaja (možemo, ali to je više posla), jednostavnije je da sredimo ovaj izraz. Prvo, pošto ispred apsolutne vrednosti uzimamo i plus i minus, apsolutnu vrednost, kao što gore napisah, možemo tretirati i kao običnu zagradu:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1-m\pm\left(m+1\right)}{m}[/dispmath]
i onda će jedno rešenje biti
[dispmath]\frac{1-m-\left(m+1\right)}{m}=\frac{\cancel1-m-m-\cancel1}{m}=\frac{-2\cancel m}{\cancel m}=-2[/dispmath]
a drugo rešenje će biti
[dispmath]\frac{1-\cancel m+\cancel m+1}{m}=\frac{2}{m}[/dispmath]
Za prvo rešenje, koje iznosi [inlmath]-2[/inlmath] nezavisno od vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath], odmah vidimo da je manje od [inlmath]3[/inlmath]. Prema tome, to rešenje proglasimo za [inlmath]x_1[/inlmath]. Rešenje [inlmath]x_2[/inlmath] će, dakle, biti [inlmath]\frac{2}{m}[/inlmath] i ono po uslovu zadatka treba da je veće od [inlmath]3[/inlmath]. Znači, sve se svodi na rešavanje nejednačine [inlmath]\frac{2}{m}>3[/inlmath]...

Evo tek sam sada vidio temu pa da se i ja malo uključim.Ovo oko određivanja parametra mi je jasno mislim na ovaj postupak.Jedino me zbunjuje malo ova stvar znam da slijedi iz [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] da u prvom rješenju diskriminanta mora biti negativna a u drugom pozitivna.A po definicji kvadratne jednačine uvijek prvo rješenje mora imati pozitivnu diskriminantu a drugo negeativnu.Tako da ovo može nekada da zakomplikuje stvar čak i kada se skoro sve odradi.
Čisto sumljam da je greška u toj nejednakosti (zamjenuli prvo i drugo rješenje) ili su ga namjerno zamjenuli da malo zbune nekoga?

Gamma je napisao:znam da slijedi iz [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] da u prvom rješenju diskriminanta mora biti negativna a u drugom pozitivna.A po definicji kvadratne jednačine uvijek prvo rješenje mora imati pozitivnu diskriminantu a drugo negeativnu.

Ajd pročitaj sad šta si napisao.
Kada je diskriminanta negativna, tada realna rešenja ne postoje. A ako govoriš o predznaku koji se uzima ispred kvadratnog korena, to je sasvim druga stvar i onda tako treba i napisati.
I, gde si video tu definiciju po kojoj [inlmath]x_1[/inlmath] mora imati plus ispred korena, a [inlmath]x_2[/inlmath] mora imati minus? Mene bi to baš zanimalo da vidim, može li neki link?

Gamma je napisao:Čisto sumljam