MATEMANIJA

Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] krijeni [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] jednacine [inlmath]mx^2+2(m-1)x-4=0[/inlmath] zadovoljavaju uslov [inlmath]x_1<3<x_2[/inlmath]

a [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] moze biti tacno samo ako je [inlmath]2a<0[/inlmath]

i ja dobijem da ne postoji takav parametar [inlmath]m[/inlmath] mozda je greska u racunu a mozda i u samoj postavci zadatka

Sinisa je napisao:a [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] moze biti tacno samo ako je [inlmath]2a<0[/inlmath]

Može biti tačno i ako je [inlmath]2a>0[/inlmath], sve zavisi od toga koje rešenje obeležiš sa [inlmath]x_1[/inlmath], a koje sa [inlmath]x_2[/inlmath]:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\displaystyle a>0
\end{array}\quad\right\}\quad\Rightarrow\quad x_1<x_2[/dispmath]

Sinisa je napisao:i ja dobijem da ne postoji takav parametar [inlmath]m[/inlmath] mozda je greska u racunu a mozda i u samoj postavci zadatka

Ja dobijem da je [inlmath]\displaystyle0<m<\frac{2}{3}[/inlmath].

dobijem i ja negdje da se [inlmath]m[/inlmath] nalazi u tom intervalu ali mislim da mi se to rjesenje ponisti sa nekim drugim uslovom, moram posle to provjeriti

ustvari ja dobijem jednu apsolutnu vrijednost u postavci zadatka

pa imam uslov kada je [inlmath]m>-1[/inlmath] i kada je [inlmath]m<-1[/inlmath]

aj mi napisi svoj postupak jer mi je stvarno tesko naci gresku u mom

Pa što ne napisa ti svoj postupak, treba li pomoć tebi, ili meni...?

Napiši izraze za oba rešenja i uprosti te izraze (nezavisno od toga koje ćeš rešenje obeležiti sa [inlmath]x_1[/inlmath] a koje sa [inlmath]x_2[/inlmath]). Dobićeš da je jedno rešenje jednačine uvek [inlmath]-2[/inlmath] (nezavisno od parametra [inlmath]m[/inlmath]), a drugo [inlmath]\frac{2}{m}[/inlmath]. E pošto je ovo rešenje koje je uvek [inlmath]-2[/inlmath] takođe uvek manje od [inlmath]3[/inlmath], znači da ovo drugo rešenje, koje iznosi [inlmath]\frac{2}{m}[/inlmath], treba da bude veće od [inlmath]3[/inlmath]...

pa dobijem i ja takvo rjesenje kada ,,obrnem,, [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath]

ali mi nije jasno zasto to moram uraditi, ja sam radio zadatak na nacin da je prvo rjesenje [inlmath]x_1[/inlmath] sa ,,[inlmath]+[/inlmath],,

posto imam apsolutnu vrijednost imam jedan oblik rjesenja kada je [inlmath]x>-1[/inlmath] i drugi kada je [inlmath]x<-1[/inlmath]

u ovom drugom slucaju dobijem rjesenje kao tvoje [inlmath]\left(0,\frac{2}{3}\right)[/inlmath] ali mi se to ne poklapa sa ovim prethodnim uslovom da je [inlmath]x<-1[/inlmath]

Ako radis da je prvo resenje [inlmath]x_1[/inlmath] sa znakom [inlmath]+[/inlmath] dobices:
[dispmath]x_1=\frac{-2(m-1)+2(m+1)}{2m}=\frac{2}{m}[/dispmath]
A za drugo resenje je [inlmath]x_2[/inlmath] sa znakom [inlmath]-[/inlmath] bice:
[dispmath]x_2=\frac{-2(m-1)-2(m+1)}{2m}=-2[/dispmath]
Ti nigde ovde nemas uslov da je [inlmath]m<-1[/inlmath] ili [inlmath]m>-1[/inlmath] (jedino da je [inlmath]m\ne-1[/inlmath] zbog [inlmath]D\ne0[/inlmath])... Vec u sklopu resenje kvadratne jednacine imas razmotrene slucajeve ispred korena ([inlmath]+[/inlmath] i [inlmath]-[/inlmath]) tako da za tim nema nikakve potrebe. Recimo i za [inlmath]m=-3[/inlmath] a samim tim [inlmath]m<-1[/inlmath] iako je [inlmath]m+1<0[/inlmath] postojala bi dva resenja: i sa [inlmath]+[/inlmath] i sa [inlmath]-[/inlmath].

ali izraz [inlmath](m-1)[/inlmath] je bio prvo kvadriran sto znaci da on mora biti pozitivan... ne mogu ja samo tako promijeniti predznak

ta apsolutna vrijednost mora biti razmatrana

Tačno je da [inlmath]\sqrt{\left(m+1\right)^2}[/inlmath] daje [inlmath]\left|m+1\right|[/inlmath], ali, budući da uzimamo i rešenje s plusem i rešenje s minusom ispred korena, znak apsolutne vrednosti možemo i zanemariti (mislim da je tako nešto i Stefanowsky napisao, ako sam dobro razumeo). Znači,
[dispmath]x_{1,2}=\frac{2\left(1-m\right)\pm\sqrt{4\left(m-1\right)^2+16m}}{2m}=\cdots=\frac{1-m\pm\left|m+1\right|}{m}[/dispmath]
Mi sad ne znamo koje rešenje će biti manje a koje veće, jer ne znamo predznak parametra [inlmath]m[/inlmath] od kojeg zavisi predznak imenioca.
Ako je [inlmath]m<0[/inlmath], tada će manje rešenje biti ono s plusem ispred apsolutne vrednosti, a veće ono s minusom.
Ako je [inlmath]m>0[/inlmath], situacija je obrnuta – manje rešenje će biti ono s minusom, a veće ono s plusem. Ali, da ne bismo sad odvojeno razmatrali ta dva slučaja (možemo, ali to je više posla), jednostavnije je da sredimo ovaj izraz. Prvo, pošto ispred apsolutne vrednosti uzimamo i plus i minus, apsolutnu vrednost, kao što gore napisah, možemo tretirati i kao običnu zagradu:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1-m\pm\left(m+1\right)}{m}[/dispmath]
i onda će jedno rešenje biti
[dispmath]\frac{1-m-\left(m+1\right)}{m}=\frac{\cancel1-m-m-\cancel1}{m}=\frac{-2\cancel m}{\cancel m}=-2[/dispmath]
a drugo rešenje će biti
[dispmath]\frac{1-\cancel m+\cancel m+1}{m}=\frac{2}{m}[/dispmath]
Za prvo rešenje, koje iznosi [inlmath]-2[/inlmath] nezavisno od vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath], odmah vidimo da je manje od [inlmath]3[/inlmath]. Prema tome, to rešenje proglasimo za [inlmath]x_1[/inlmath]. Rešenje [inlmath]x_2[/inlmath] će, dakle, biti [inlmath]\frac{2}{m}[/inlmath] i ono po uslovu zadatka treba da je veće od [inlmath]3[/inlmath]. Znači, sve se svodi na rešavanje nejednačine [inlmath]\frac{2}{m}>3[/inlmath]...

Evo tek sam sada vidio temu pa da se i ja malo uključim.Ovo oko određivanja parametra mi je jasno mislim na ovaj postupak.Jedino me zbunjuje malo ova stvar znam da slijedi iz [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] da u prvom rješenju diskriminanta mora biti negativna a u drugom pozitivna.A po definicji kvadratne jednačine uvijek prvo rješenje mora imati pozitivnu diskriminantu a drugo negeativnu.Tako da ovo može nekada da zakomplikuje stvar čak i kada se skoro sve odradi.
Čisto sumljam da je greška u toj nejednakosti (zamjenuli prvo i drugo rješenje) ili su ga namjerno zamjenuli da malo zbune nekoga?

Gamma je napisao:znam da slijedi iz [inlmath]x_1<x_2[/inlmath] da u prvom rješenju diskriminanta mora biti negativna a u drugom pozitivna.A po definicji kvadratne jednačine uvijek prvo rješenje mora imati pozitivnu diskriminantu a drugo negeativnu.

Ajd pročitaj sad šta si napisao.
Kada je diskriminanta negativna, tada realna rešenja ne postoje. A ako govoriš o predznaku koji se uzima ispred kvadratnog korena, to je sasvim druga stvar i onda tako treba i napisati.
I, gde si video tu definiciju po kojoj [inlmath]x_1[/inlmath] mora imati plus ispred korena, a [inlmath]x_2[/inlmath] mora imati minus? Mene bi to baš zanimalo da vidim, može li neki link?

Gamma je napisao:Čisto sumljam

Sumnjam. Pismenost na nivou
Piše na srpskoj Wikipediji neće mi učita link zbog ćirilice. Dok vidim na bosnaskoj ne piše ne znam ni ja što su odredili prvo rješenje sa pozitivnim predznakom ispred diskriminante.

Ako na srpskoj Wikipedii stvarno tako piše, onda me to podseća na onaj „biser“ kako se, navodno, koristi jedna formula za sumu geometrijskog niza kada je [inlmath]q<1[/inlmath], a druga formula kada je [inlmath]q>1[/inlmath] (LINK)...

Ontopic, nema pravila šta će se uzeti za [inlmath]x_1[/inlmath] a šta za [inlmath]x_2[/inlmath], mada je nekako logičnije da za [inlmath]x_1[/inlmath] uzmemo manju, a za [inlmath]x_2[/inlmath] veću vrednost, a to znači, kada je [inlmath]a>0[/inlmath] tada [inlmath]x_1[/inlmath] računamo s minusom ispred korena a [inlmath]x_2[/inlmath] s plusem, a kada je [inlmath]a<0[/inlmath] onda obratno...

Nađoh taj link, evo ga: http://tinyurl.com/llgur3w (dugačke URL-ove, kao i one na ćirilici, uvek možete konvertovati u ove kratke URL-ove pomoću http://tinyurl.com i sličnih takvih sajtova).
Jeste, napisali su [inlmath]x_1[/inlmath] s plusem ispred korena a [inlmath]x_2[/inlmath] s minusom, ali nigde ne vidim da piše da je takav redosled i obavezujuć.

Piše i u Matematici za 2 razred Srednje škole Despotović,Vojvodić,Petrović i Šešelja(Istočno Sarajevo).Ima još negdje to sigurno samo ne mogu da nađem. Susreto sam se s tim više puta.Dok u nekima samo piše [inlmath]x[/inlmath] bez ikakovga indeksa.Ni u ovoj knjizi ne piše da je redoslijed obavezujuć ali uzeli su da dva rješenja uokvirili i stavili jedno ispod drugoga.Baš izgleda kao da hoće da to naglase. Pokušaću da neđem mislim da ima negdje da kaže da prvo rješenje se uzima s pozitivnim predznakom ispred diskriminante.

gamma, ako je diskriminanta negativna tada su rjesenja kompleksni brojevi... a kompleksni brojevi se ne mogu porediti po velicini

a to hoce li [inlmath]x_1[/inlmath] biti manje ili vece od [inlmath]x_2[/inlmath] zavisi od [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]

a i nas su ucili da je [inlmath]x_1[/inlmath] rjesenje sa plusem ispred korijena diskriminante...

Ali može njihov modul Mislio sam na pozitivan ili negativan predznak ispred diskriminante.Upravo u ovome zadatku ta stvar može da se zakomplikuje zbog toga.Stvarno ne znam što su pisali da prvo rješenje ide sa pozitivnim predznakom ispred diskriminante.

ispred korijena diskriminante... diskriminanta je [inlmath]b^2-4ac[/inlmath]

i mene je to iznerviralo, ne mogu ja pogadjati sta je [inlmath]x_1[/inlmath] a sta je [inlmath]x_2[/inlmath]... mislim moze se logicki zakljuciti ali treba vremena da uzmes u obzir sve uslove

^ Nit moraš da pogađaš šta je [inlmath]x_1[/inlmath] a šta [inlmath]x_2[/inlmath], nit moraš da uzimaš u obzir različite uslove, ako radiš na onaj način koji sam pokazao...