MATEMANIJA

Koristeći matematičku indukciju treba dokazati sljedeće. Inače ovakvi zadaci nisu problem, ali ovaj je očito specifičan kada se ne može tek tako ni baza dokazati
[dispmath]\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\cdots +\frac{2^n}{1+x^{2^n}}=\frac{1}{x-1}+\frac{2^{n+1}}{1-x^{2^{n+1}}}[/dispmath]
gdje je [inlmath]x\ne -1[/inlmath] i [inlmath]x\ne 1[/inlmath].

[inlmath]1^\circ\quad n=1[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{4}{1-x^4}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1-x}{1-x}+\frac{2}{1+x^2}\cdot\frac{1-x^2}{1-x^2}=\frac{1}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x+1}+\frac{4}{1-x^4}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1-x}{1-x^2}+\frac{2\left(1-x^2\right)}{1-x^4}=\frac{x+1}{x^2-1}+\frac{4}{1-x^4}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1-x}{1-x^2}\cdot\frac{1+x^2}{1+x^2}+\frac{2\left(1-x^2\right)}{1-x^4}=-\frac{x+1}{1-x^2}\cdot\frac{1+x^2}{1+x^2}+\frac{4}{1-x^4}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}{1-x^4}+\frac{2\left(1-x^2\right)}{1-x^4}=-\frac{\left(x+1\right)\left(1+x^2\right)}{1-x^4}+\frac{4}{1-x^4}\quad /\cdot\left(1-x^4\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)+2\left(1-x^2\right)=-\left(x+1\right)\left(1+x^2\right)+4[/dispmath]
[dispmath]1-x+x^2-x^3+2-2x^2=-x-1-x^3-x^2+4[/dispmath]
[dispmath]-x^3-x^2-x+3=-x^3-x^2-x+3[/dispmath]

[inlmath]2^\circ\quad n=k[/inlmath] indukcijska pretpostavka
[dispmath]\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\cdots +\frac{2^k}{1+x^{2^k}}=\frac{1}{x-1}+\frac{2^{k+1}}{1-x^{2^{k+1}}}[/dispmath]

[inlmath]3^\circ\quad n=k+1[/inlmath]
[dispmath]\underbrace{\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\cdots +\frac{2^k}{1+x^{2^k}}}_{\frac{1}{x-1}+\frac{2^{k+1}}{1-x^{2^{k+1}}}}+\frac{2^{k+1}}{1+x^{2^{k+1}}}=\frac{1}{x-1}+\frac{2^{k+2}}{1-x^{2^{k+2}}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{x-1}+\frac{2^{k+1}}{1-x^{2^{k+1}}}+\frac{2^{k+1}}{1+x^{2^{k+1}}}=\frac{1}{x-1}+\frac{2^{k+2}}{1-x^{2^{k+2}}}[/dispmath]
[dispmath]2^{k+1}\left(\frac{1}{1-x^{2^{k+1}}}+\frac{1}{1+x^{2^{k+1}}}\right)=\frac{2^{k+2}}{1-x^{2^{k+2}}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{1-x^{2^{k+1}}}+\frac{1}{1+x^{2^{k+1}}}=\frac{2}{1-x^{2^{k+2}}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1+x^{2^{k+1}}+1-x^{2^{k+1}}}{\left(1-x^{2^{k+1}}\right)\left(1+x^{2^{k+1}}\right)}=\frac{2}{1-x^{2^{k+2}}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{2}{1-x^{2\cdot 2^{k+1}}}=\frac{2}{1-x^{2^{k+2}}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{2}{1-x^{2^{k+2}}}=\frac{2}{1-x^{2^{k+2}}}[/dispmath]

Hvala. Ovaj zadatak se malo drukčije rješava, zar ne?

Kako misliš, drukčije Drukčije u odnosu na ovaj moj postupak, ili drukčije u odnosu na ostale zadatke s indukcijom?

Drukčije u odnosu na ostale zadatke s indukcijom Malo drukčije, npr. baza, nije samo dovoljno izjednačiti prvi ili zadnji izraz lijeve strane sa desnim i uvrstiti umjesto [inlmath]n[/inlmath] [inlmath]1[/inlmath]. ...

eseper je napisao:nije samo dovoljno izjednačiti prvi ili zadnji izraz lijeve strane sa desnim i uvrstiti umjesto [inlmath]n[/inlmath] [inlmath]1[/inlmath]. ...

Ne, nemoj se oslanjati na taj šablon, jer onda zadaci kao što je ovaj mogu da te zavaraju. Šablon je ovde sasvim jasan. Dokazuje se tačnost za [inlmath]n=1[/inlmath], zatim se uvede induktivna pretpostavka za [inlmath]n=k[/inlmath] i zatim dokazuje tačnost za [inlmath]n=k+1[/inlmath]. I to je cela mudrolija.

Aha, a možeš li mi onda točno objasniti zašto smo u ovom slučaju s lijeve strane uzeli dva izraza (a ne jedan kao inače), da provjerimo bazu?

U zadatku nije navedeno koje je minimalno [inlmath]n[/inlmath], pa sam zato podrazumevao da [inlmath]n[/inlmath] ide od [inlmath]1[/inlmath] pa naviše, što najčešće i jeste slučaj.

Poslednji sabirak s leve strane, [inlmath]\frac{2^n}{1+x^{2^n}}[/inlmath], pokazuje nam do kog člana treba vršiti sabiranje. Za [inlmath]n=1[/inlmath], ovaj član postaje [inlmath]\frac{2^1}{1+x^{2^1}}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{2}{1+x^2}[/inlmath], a vidimo da je to, zapravo, drugi sabirak po redu.

Za slučaj da je i [inlmath]n=0[/inlmath] dozvoljena vrednost za [inlmath]n[/inlmath] (ali to bi onda moralo biti navedeno u tekstu zadatka), imali bismo da je poslednji sabirak na levoj strani jednak [inlmath]\frac{2^0}{1+x^{2^0}}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{1}{1+x}[/inlmath], a to bi onda bio prvi (i, u tom slučaju, i jedini) sabirak na levoj strani, pa bi baza izgledala ovako:
[dispmath]\frac{1}{1+x}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{1-x^2}[/dispmath]
i to se onda vrlo lako dokazuje,
[dispmath]\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x-1}=\frac{2}{1-x^2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{1-x^2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1-x+1+x}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}=\frac{2}{1-x^2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}[/dispmath]

Super, sada se (valjda) nikako ne mogu zeznuti

Daniel je napisao:[inlmath]1^\circ\quad n=1[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{4}{1-x^4}[/dispmath]

Kako znaš da s live strane jednadžbe uzimaš prva dva izraza,a ne npr samo jedan?
To je ka neka logika, ovaj drugi dio desnog izraza (iz početno zadatog zadatka) se odnosi na koliko se članova zbraja sa prvim izrazom...Pošto je uvik u bazi indukcije [inlmath]n=1[/inlmath], to znači da su prva dva izraza obuhvaćena, početni([inlmath]0[/inlmath]) [inlmath]+1[/inlmath]?

Drugu rečenicu uopšte nisam razumeo, ali odgovoriću na ovu prvu:

blake je napisao:Kako znaš da s live strane jednadžbe uzimaš prva dva izraza,a ne npr samo jedan?

Znam po poslednjem sabirku na levoj strani, koji je zadat izrazom [inlmath]\frac{2^n}{1+x^{2^n}}[/inlmath]. Za bazu indukcije (tj. kada je [inlmath]n=1[/inlmath]), taj poslednji sabirak je [inlmath]\frac{2^1}{1+x^{2^1}}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{2}{1+x^2}[/inlmath], tako da znam da pri ispisivanju baze indukcije s leve strane treba da dopisujem sabirke sve dok ne dođem do sabirka koji glasi [inlmath]\frac{2}{1+x^2}[/inlmath]. U ovom konkretnom slučaju, sabirak koji glasi [inlmath]\frac{2}{1+x^2}[/inlmath] biće drugi po redu, što znači da na levoj strani za [inlmath]n=1[/inlmath] imamo ukupno dva sabirka.

Daniel je napisao:Drugu rečenicu uopšte nisam razumeo,

Hahahha, zna san

ugl. krivo sam mislija

blake je napisao:

Daniel je napisao:Drugu rečenicu uopšte nisam razumeo,

Hahahha, zna san

Pa kad si znao, što si je napisao