MATEMANIJA

Kako se resava iracionalna jednacina ako imamo kubni koren? Na primer:

Ako [inlmath]x[/inlmath] zadovoljava jednacinu [inlmath]\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3[/inlmath], kom intervalu tada pripada [inlmath]x^2[/inlmath]?

Veoma slično samo moraš sve dići na treći stepen.

I pretpostavio sam, ali reko bolje da pitam.

Pa to je i jedini način da se oslobodiš trećeg stepena.

@Gamma, jesi li pokušao ovaj zadatak da rešiš na taj način?

Jednačine s kubnim korenima imaju prednost nad jednačinama s kvadratnim korenima u tome što nije potrebno postavljati uslove nenegativnosti potkorene veličine i nije potrebno postavljati uslove pri dizanju jednačina na treći stepen kao što je potrebno pri kvadriranju. Ali, imaju i manu što se dizanjem na treći stepen dobiju nezgodni izrazi kad imamo ovako dva kubna korena.

U ovoj temi je izložen zanimljiv postupak rešavanja jedne slične jednačine, koji bi se mogao primeniti i na ovaj zadatak, čime se na prilično elegantniji način dolazi do rešenja.

Ako sad uvedem smenu [inlmath]u=\sqrt[3]{x+9}[/inlmath] i [inlmath]v=\sqrt[3]{x-9}[/inlmath] dobijem sistem:
[dispmath]u-v=3\\
u^3-v^3=18[/dispmath]
Posto je iz prve [inlmath]u=3+v[/inlmath], onda to svedem na kvadratnu [inlmath]v^2+3v+1=0[/inlmath], iz koje dobijem resenja [inlmath]v_1=\frac{-3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]v_2=\frac{-3-\sqrt5}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]u_1=\frac{3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]u_2=\frac{3-\sqrt5}{2}[/inlmath]. E sad, nesto mi se ne svidjaju ova resenja.

Ne sviđaju se ni meni, ali to jesu tačna rešenja.
Sad odatle nađi [inlmath]x[/inlmath] i dobićeš [inlmath]x=\pm4\sqrt5[/inlmath].

Daniel je napisao:@Gamma, jesi li pokušao ovaj zadatak da rešiš na taj način?

Jesam i uradio sam ga

Ni meni se ne sviđaju ova rješenja. Problem je jer [inlmath]u_1[/inlmath] i [inlmath]u_2[/inlmath] moramo stepenovati sa [inlmath]3[/inlmath] da bi našli [inlmath]x[/inlmath] a u rezultatu imamo kvadratni korijen a ne kubni. Sada ne znam uopšte kako doći do [inlmath]x[/inlmath] jer smeta taj kvadratni korijen.

Pa imas da je [inlmath]u=\sqrt[3]{x+9}[/inlmath] kao smena. I sad ako je [inlmath]u_1=\frac{3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]u_2=\frac{3-\sqrt5}{2}[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]1)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3+\sqrt5}{2}[/dispmath]
i
[dispmath]2)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3-\sqrt5}{2}[/dispmath]
E sad, ja cu samo za prvi. Ako obe strane stavimo na treci stepen izraz ce da se svede na
[dispmath]x+9=\frac{\left(3+\sqrt5\right)^3}{2^3}[/dispmath]
To je dalje
[dispmath]x+9=\frac{27+27\sqrt5+45+5\sqrt5}{8}[/dispmath][dispmath]8x+72=72+32\sqrt5[/dispmath][dispmath]8x=32\sqrt5[/dispmath][dispmath]x=4\sqrt5[/dispmath]
Isto tako i za drugo resenje.

Ok. Rastavio si [inlmath]\sqrt5^3[/inlmath] kao [inlmath]\sqrt5^2\sqrt5=5\sqrt5[/inlmath]. Ja ovo nisam ni pokusavao uraditi do kraja čim sam vidio da se diže na treći stepen [inlmath]\sqrt5[/inlmath]. Imaš zadataka sličnih kod kojih se poslije veoma teško dođe do rezultata. Dok kod ovoga nije tako. Mislim izračuna se smjena a nepoznata iz smjene veoma teško se izražava. Meni djeluje dosta jednostavniji onaj način kojim sam ja radio, nema nikakve smjene odmah izraziš [inlmath]x[/inlmath].