MATEMANIJA

Kako se resava iracionalna jednacina ako imamo kubni koren? Na primer:

Ako [inlmath]x[/inlmath] zadovoljava jednacinu [inlmath]\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3[/inlmath], kom intervalu tada pripada [inlmath]x^2[/inlmath]?

Veoma slično samo moraš sve dići na treći stepen.

I pretpostavio sam, ali reko bolje da pitam.

Pa to je i jedini način da se oslobodiš trećeg stepena.

@Gamma, jesi li pokušao ovaj zadatak da rešiš na taj način?

Jednačine s kubnim korenima imaju prednost nad jednačinama s kvadratnim korenima u tome što nije potrebno postavljati uslove nenegativnosti potkorene veličine i nije potrebno postavljati uslove pri dizanju jednačina na treći stepen kao što je potrebno pri kvadriranju. Ali, imaju i manu što se dizanjem na treći stepen dobiju nezgodni izrazi kad imamo ovako dva kubna korena.

U ovoj temi je izložen zanimljiv postupak rešavanja jedne slične jednačine, koji bi se mogao primeniti i na ovaj zadatak, čime se na prilično elegantniji način dolazi do rešenja.

Ako sad uvedem smenu [inlmath]u=\sqrt[3]{x+9}[/inlmath] i [inlmath]v=\sqrt[3]{x-9}[/inlmath] dobijem sistem:
[dispmath]u-v=3\\
u^3-v^3=18[/dispmath]
Posto je iz prve [inlmath]u=3+v[/inlmath], onda to svedem na kvadratnu [inlmath]v^2+3v+1=0[/inlmath], iz koje dobijem resenja [inlmath]v_1=\frac{-3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]v_2=\frac{-3-\sqrt5}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]u_1=\frac{3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]u_2=\frac{3-\sqrt5}{2}[/inlmath]. E sad, nesto mi se ne svidjaju ova resenja.

Ne sviđaju se ni meni, ali to jesu tačna rešenja.
Sad odatle nađi [inlmath]x[/inlmath] i dobićeš [inlmath]x=\pm4\sqrt5[/inlmath].

Daniel je napisao:@Gamma, jesi li pokušao ovaj zadatak da rešiš na taj način?

Jesam i uradio sam ga

Ni meni se ne sviđaju ova rješenja. Problem je jer [inlmath]u_1[/inlmath] i [inlmath]u_2[/inlmath] moramo stepenovati sa [inlmath]3[/inlmath] da bi našli [inlmath]x[/inlmath] a u rezultatu imamo kvadratni korijen a ne kubni. Sada ne znam uopšte kako doći do [inlmath]x[/inlmath] jer smeta taj kvadratni korijen.

Pa imas da je [inlmath]u=\sqrt[3]{x+9}[/inlmath] kao smena. I sad ako je [inlmath]u_1=\frac{3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]u_2=\frac{3-\sqrt5}{2}[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]1)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3+\sqrt5}{2}[/dispmath]
i
[dispmath]2)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3-\sqrt5}{2}[/dispmath]
E sad, ja cu samo za prvi. Ako obe strane stavimo na treci stepen izraz ce da se svede na
[dispmath]x+9=\frac{\left(3+\sqrt5\right)^3}{2^3}[/dispmath]
To je dalje
[dispmath]x+9=\frac{27+27\sqrt5+45+5\sqrt5}{8}[/dispmath][dispmath]8x+72=72+32\sqrt5[/dispmath][dispmath]8x=32\sqrt5[/dispmath][dispmath]x=4\sqrt5[/dispmath]
Isto tako i za drugo resenje.

Ok. Rastavio si [inlmath]\sqrt5^3[/inlmath] kao [inlmath]\sqrt5^2\sqrt5=5\sqrt5[/inlmath]. Ja ovo nisam ni pokusavao uraditi do kraja čim sam vidio da se diže na treći stepen [inlmath]\sqrt5[/inlmath]. Imaš zadataka sličnih kod kojih se poslije veoma teško dođe do rezultata. Dok kod ovoga nije tako. Mislim izračuna se smjena a nepoznata iz smjene veoma teško se izražava. Meni djeluje dosta jednostavniji onaj način kojim sam ja radio, nema nikakve smjene odmah izraziš [inlmath]x[/inlmath].

Gamma je napisao:Jesam i uradio sam ga

Pa zašto onda ne napišeš taj svoj način rada?
Koristiće svima, stvar ukusa je koji način odabrati.
A najbolji način da se uradi zadatak je da se uradi tačno.

Ako dignes sve na treci stepen opet ce ostati korijen, e sada trebas dici sve na kvadrat... najbolje da ovo uradi neko ko ima tablu ili hamer papir kod kuce jer ce trebati mnogo pisati

Gamma je napisao:Ok. Rastavio si [inlmath]\sqrt5^3[/inlmath] kao [inlmath]\sqrt5^2\sqrt5=5\sqrt5[/inlmath].

Inace, u opstem slucaju ovaj deo se lako racuna, jer je [inlmath]\left(\sqrt[n]a\right)^m[/inlmath] po definiciji [inlmath]\sqrt[n]{a^m}[/inlmath]. Ipak, ovde je ocigledno da je to [inlmath]5\sqrt5[/inlmath]

desideri je napisao:Pa zašto onda ne napišeš taj svoj način rada?

Čekam da ga neko zatraži Ako nekoga interesuje zatražiće sigurno!
[dispmath]\left.\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3\quad\right/\;()^3[/dispmath][dispmath]\cancel{x}+9-3\sqrt[3]{(x+9)^2}\sqrt[3]{x-9}+3\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{(x-9)^2}\cancel{-x}+9=27[/dispmath][dispmath]-3\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}\left(\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}\right)=27-18[/dispmath][dispmath]-9\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}=9[/dispmath][dispmath]\left.\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}=-1\quad\right/\;()^3[/dispmath][dispmath](x+9)(x-9)=-1[/dispmath][dispmath]x^2\cancel{-9x}\cancel{+9x}-81=-1[/dispmath][dispmath]x^2=80[/dispmath][dispmath]x^2=16\cdot5[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=\pm4\sqrt5}[/dispmath]

Sinisa,nemoj molim te.Poštedi me svojih komentara.Počinješ me nervirati. Ponovo počinješ isto, pretrpavaš temu svojim nepotrebnim komentarima.Ovo je još jedan dokaz. Sve ovo skupljam

Kada sam radio ovako, uopste nisam primetio da u trecem koraku drugi deo mogu da napisem da je [inlmath]3[/inlmath] iz pocetne. Ipak se ovako brze resava.

To je glavna fora Zato i kažem da mi se čini da je ovaj postupak jednostavniji od onoga prethodnoga. Jer nema nikakvih smjena.

Lajk za Gammino rešenje.
Mogu da potvrdim da taj metod funkcioniše i u opštem slučaju,
[dispmath]\sqrt[3]{ax+b}-\sqrt[3]{cx+d}=3[/dispmath]
s tim da, kada je [inlmath]a=c[/inlmath], kao što je slučaj u ovom zadatku, tada je postupak sasvim jednostavan, dok se za [inlmath]a\ne c[/inlmath] dobije kubna jednačina, ali tada bi se kubna jednačina svakako dobila i ako bi se išlo metodom smene...

(Slično i za [inlmath]\sqrt[3]{ax+b}{\color{red}+}\sqrt[3]{cx+d}=3[/inlmath], samo tada je potrebno da bude [inlmath]a=-c[/inlmath] da ne bismo dobili kubnu jednačinu...)

Pridružujem se pohvalama za Gammino rešenje .

Da ne otvaram novu temu, jedno kratko pitanje. Da li se jednacina [inlmath]\sqrt[3]{x+4}+\sqrt x=4[/inlmath], moze resiti algebarski na neki laksi nacin? Sredjivanjem svedem jednacinu na kubnu [inlmath]x^3-25x^2+984x-3600=0[/inlmath].

Grafickim resavanjem dobije se resenje [inlmath]4[/inlmath] (koje je i vise nego ocigledno iz samog zadatka)?

Svaki zadatak u novu temu

@Gamma,

Pravilnik je napisao:10. Novi zadatak postavljajte u posebnu temu.
Eventualno, u slučaju kada je taj zadatak sličan nekom već ranije objavljenom, pa bi zajedno s tim prethodnim zadatkom činio određenu celinu, možete ga postaviti u temu u kojoj se nalazi taj prethodni sličan zadatak.

@Ilija
Mnogo ti je komplikovana ta kubna koju si dobio. Da si radio metodom smene kao u onom zadatku (evo link još jednom) dobio bi
[dispmath]u^3-u^2+8u-20=0[/dispmath]
odatle [inlmath]u=2[/inlmath] i, vraćanjem smene, i [inlmath]x=4[/inlmath].
Kubna ti u svakom slučaju ne gine, ali ovako uprošćena kubna nije bauk – i u tom zadatku na koji sam linkovao dobija se kubna koja se sasvim lako rešava „napipavanjem“ celobrojnih rešenja. A o tom „napipavanju“ celobrojnih rešenja pisao sam, kako u samoj toj temi, tako i u sledeća dva posta,
viewtopic.php?f=3&t=397#p2687
viewtopic.php?f=2&t=958#p5934
pa možeš baciti pogled...

Slažem se da bi trebalo nov zadatak postaviti u novu temu, ali ovo je slično prethodnom:

Ilija je napisao:Da ne otvaram novu temu, jedno kratko pitanje. Da li se jednacina [inlmath]\sqrt[3]{x+4}+\sqrt x=4[/inlmath], moze resiti algebarski na neki laksi nacin? Sredjivanjem svedem jednacinu na kubnu [inlmath]x^3-25x^2+984x-3600=0[/inlmath]

Ako se uvede smena [inlmath]x+4=t^3[/inlmath], dobije se kubna jednačina:
[dispmath]t^3-t^2+8t-20=0[/dispmath] koja ima isto "očigledno" rešenje [inlmath]t=2[/inlmath], dok dva ostala nisu u skupu realnih brojeva. Ovo algebarski jeste lakše, ali ne verujem da je to-to.

Zaboravio sam na taj izuzetak. Ja i ne vidim neku veliku sličnost ali eto neka ostane ovde.

Evo i da se "nastavim". Mislim da su to ovako zamislili sastavljači zadatka, mada mi se cela priča oko kubne jednačine ne sviđa:
[dispmath]\sqrt[3]{x+4}+\sqrt x=4\\
x+4=t^3\quad\Rightarrow\quad t^3-t^2+8t-20=0\\
t^3-2t^2+t^2-2t+10t-20=0\\
t^2(t-2)+t(t-2)+10(t-2)=0\\
\left(t^2+t+10\right)(t-2)=0[/dispmath]
Eto ga [inlmath]t=2[/inlmath] i naravno [inlmath]x=4[/inlmath]. Ja bih ovo nazvao "nategnuto rešenje by desideri"