Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Eksponencijalna jednacina

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]
  • +1

Eksponencijalna jednacina

Postod Ilija » Subota, 11. April 2015, 19:31

Evo jedan zadatak, koliko sam video nije bio. Resim ga ja, ali cini mi se da moze i krace.
[dispmath]4^x-7\cdot2^{\frac{x-3}{2}}=2^{-x}[/dispmath]
Ovo sad sredim kao
[dispmath]\left(2^x\right)^2-7\cdot\left(\frac{2^x}{8}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^x}[/dispmath][dispmath]\left(2^x\right)^2-\frac{7}{4}\cdot\sqrt{2\cdot2^x}=\frac{1}{2^x}[/dispmath]
uvedem smenu [inlmath]2^x=t[/inlmath], i dobijem jednacinu
[dispmath]t^2-\frac{7}{4}\cdot\sqrt{2t}=\frac{1}{t}[/dispmath]
Sad ovo resavam kao iracionalnu koju svedem na
[dispmath]16t^6-130t^3+16=0[/dispmath]
gde ponovo uz smenu [inlmath]t^3=v[/inlmath] dobijem da su resenja [inlmath]t=2[/inlmath] i [inlmath]t=\frac{1}{2}[/inlmath], gde [inlmath]t=\frac{1}{2}[/inlmath] otpada zbog uslova [inlmath]t\geq1[/inlmath], nakon cega vratim u smenu:
[dispmath]2^x=2[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=1}[/dispmath]
Moje pitanje je da li moze ova jednacina da se uradi krace?
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Sinisa » Subota, 11. April 2015, 20:07

pokusaj pomnoziti sve sa [inlmath]2^x[/inlmath], kada sve to sredis onda izvuci ispred zagrade [inlmath]2^x[/inlmath] a koristi sledeci identitet [inlmath]1=2^{x-x}[/inlmath] i sada je taj izraz jednak nuli kada je jedan faktor jednak nuli, [inlmath]2^x[/inlmath] nikad nije nula tako da onaj drugi izraz mora biti nula... kasnije ces uvesti smjenu [inlmath]2^x=t[/inlmath] i rijesiti tu kubnu jednacinu
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Daniel » Nedelja, 12. April 2015, 00:41

Nisam baš uspeo da ispratim Sinišin postupak (ne kažem da nije u redu).
Ja bih predložio množenje obe strane sa [inlmath]2^{x+\frac{3}{2}}[/inlmath]:
[dispmath]4^x\cdot2^{x+\frac{3}{2}}-7\cdot2^{\frac{x-3}{2}+x+\frac{3}{2}}=2^{-\cancel x+\cancel x+\frac{3}{2}}[/dispmath][dispmath]2^{\frac{3}{2}}\cdot2^{3x}-7\cdot2^{\frac{3x}{2}}-2^{\frac{3}{2}}=0[/dispmath]
[inlmath]2^{\frac{3x}{2}}=t[/inlmath]
[dispmath]2^{\frac{3}{2}}t^2-7t-2^{\frac{3}{2}}=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49+4\cdot2^{\frac{3}{2}}\cdot2^{\frac{3}{2}}}}{2\cdot2^{\frac{3}{2}}}=\frac{7\pm9}{2\cdot2^{\frac{3}{2}}}[/dispmath][dispmath]\cancel{t_1=-\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}},\qquad t_2=\frac{8}{2^{\frac{3}{2}}}=2^{3-\frac{3}{2}}=2^{\frac{3}{2}}[/dispmath][dispmath]2^{\frac{3x}{2}}=2^{\frac{3}{2}}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{x=1}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Sinisa » Nedelja, 12. April 2015, 07:10

moja greska u racunu, mislio sam da ce biti [inlmath]2^x[/inlmath] a ne [inlmath]2^{3x/2}[/inlmath]
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Gamma » Nedelja, 12. April 2015, 11:31

Daniele kako si samo došao na ideju da sve pomnožiš sa [inlmath]2^{x+\frac{3}{2}}[/inlmath]? To meni nikada ne bi palo na pamet, ja bih ga radio ovako kao i Ilija.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Daniel » Nedelja, 12. April 2015, 13:36

Tako što, kada sam prvo sve pomnožio sa [inlmath]2^x[/inlmath], dobio sam da mi u imeniocu figuriše [inlmath]\sqrt8[/inlmath], tj. [inlmath]2^{\frac{3}{2}}[/inlmath], pa da ne bih prvo množio sa [inlmath]2^x[/inlmath] a zatim sa [inlmath]2^{\frac{3}{2}}[/inlmath], pomnožio sam odmah sa [inlmath]2^x\cdot2^{\frac{3}{2}}[/inlmath], tj. sa [inlmath]2^{x+\frac{3}{2}}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Sinisa » Nedelja, 12. April 2015, 14:01

moglo se pomnoziti samo sa [inlmath]2^x[/inlmath], ali kada bi se trazila rjesenja te kvadratne jednacine bilo bi tesko zbog brojeva... ovako kod "[inlmath]4ac[/inlmath]" se skrati korijen :)
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod lukazdravic » Sreda, 20. April 2022, 13:49

Zdravo, znam da kasnim puno sa pitanjima, ali sada radim rokove sa prijemnih i nije mi jasno kod ovog zadatka, odakle uslov [inlmath]t\ge1[/inlmath]?
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Daniel » Četvrtak, 21. April 2022, 00:39

Zdravo, do tog uslova se dolazi rešavanjem iracionalne jednačine [inlmath]t^2-\frac{7}{4}\cdot\sqrt{2t}=\frac{1}{t}[/inlmath].
Kad na jednu stranu prebaciš sabirak s korenom, a na drugu sve ostale, dobije se [inlmath]t^2-\frac{1}{t}=\frac{7}{4}\cdot\sqrt{2t}[/inlmath].
Naravno, zbog definisanosti jednačine mora biti [inlmath]t>0[/inlmath], pa je uz taj uslov desna strana pozitivna, što znači da i leva strana mora biti pozitivna, tj. [inlmath]t^2-\frac{1}{t}>0[/inlmath]. To dalje znači [inlmath]\frac{t^3-1}{t}>0[/inlmath], a pošto je [inlmath]t[/inlmath] pozitivno, to se onda svodi na [inlmath]t^3-1>0[/inlmath], a odatle je [inlmath]t>1[/inlmath].

Nije greška ni to što je Ilija napisao kao uslov, da je [inlmath]t\ge1[/inlmath]. On je išao time da je desna strana jednačine [inlmath]t^2-\frac{1}{t}=\frac{7}{4}\cdot\sqrt{2t}[/inlmath] veća ili jednaka nuli zbog kvadratnog korena (iako se s obzirom na nenulto [inlmath]t[/inlmath] odmah može zaključiti i da je desna strana strogo veća od nule). To dalje dovodi do uslova [inlmath]t\ge1[/inlmath]. Ali, kažem, nije to greška, jer ono što je bitno to je da je i time eliminisana mogućnost da je pre kvadriranja jedna strana jednačine bila pozitivna a druga negativna.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod lukazdravic » Četvrtak, 21. April 2022, 12:38

Puno hvala na odgovoru, Daniele, nakon svih ovih godina. :lol:
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 57 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs