Evo te moje ideje.
Znači, imamo jednačinu [inlmath]x^4+2x^3+mx^2+2x+1=0[/inlmath]. Pošto odmah vidimo da [inlmath]x=0[/inlmath] ne može biti rešenje ove jednačine, možemo obe strane podeliti sa [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]x^2+2x+m+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\\
x^2+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=-m[/dispmath]
I sada posmatramo grafički i levu i desnu stranu. Desna strana je neka prava paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi, na rastojanju [inlmath]-m[/inlmath] od [inlmath]x[/inlmath]-ose (za [inlmath]m>0[/inlmath] prava je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose i za [inlmath]m<0[/inlmath] prava je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose).
Leva strana jednačine je neka funkcija čiji oblik možemo odrediti klasičnim ispitivanjem funkcije. Njene ekstreme određujemo izjednačavanjem njenog prvog izvoda s nulom,
[dispmath]\left.2x+2-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}=0\quad\right/\cdot\frac{x^3}{2}\\
x^4+x^3-x-1=0\\
x^3\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0\\
\left(x+1\right)\left(x^3-1\right)=0\\
\Rightarrow\quad x=-1\;\lor\;x=1[/dispmath]
Uvrštavanjem ovih vrednosti u drugi izvod funkcije možemo potvrditi da su u pitanju minimumi.
I, funkcija će izgledati ovako nekako:
- grafik.png (2.1 KiB) Pogledano 920 puta
Dakle, minimumi funkcije na levoj strani jednačine jesu:
[dispmath]\left(-1\right)^2+2\left(-1\right)+\frac{2}{-1}+\frac{1}{\left(-1\right)^2}=1-2-2+1=-2[/dispmath]
i
[dispmath]1^2+2\cdot1+\frac{2}{1}+\frac{1}{1^2}=1+2+2+1=6[/dispmath]
Da bi postojala četiri realna i različita rešenja, tj. da bi prava [inlmath]y=-m[/inlmath] i funkcija [inlmath]x^2+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}[/inlmath] imale četiri presečne tačke, sa grafika vidimo da prava [inlmath]y=-m[/inlmath] treba da bude iznad većeg od ova dva minimuma, tj. iznad vrednosti [inlmath]6[/inlmath]:
[dispmath]-m>6[/dispmath]
to jest
[dispmath]\enclose{box}{m<-6}[/dispmath]
Znači, ništa Kardanova formula, ništa nagađanje, ništa kubna jednačina. Preporuči komšiji, ako je zadovoljan ovim objašnjenjem, da se priključi našem forumu.
Poslato: Četvrtak, 16. April 2015, 19:53
Al' dobro...
