MATEMANIJA

Evo zadatka koji sadrži jako lep trik, bar meni se svideo:

Koliki je broj međusobno različitih vrednosti realnog parametra [inlmath]k[/inlmath] za koje jednačina [inlmath]kx^2-2(k+3)x+k+4=0[/inlmath] ima tačno jedno rešenje?

Naravno, uslov da kvadratna jednačina ima tačno jedno rešenje je da njena diskriminanta bude jednaka nuli. Ta diskriminanta zavisi od parametra [inlmath]k[/inlmath]. Kada se diskriminanta nađe, potire se [inlmath]k^2[/inlmath]. To onda znači da ostaje prosta linearna jednačina po [inlmath]k[/inlmath]. A takva jednačina ima samo jedno rešenje za [inlmath]k[/inlmath]. A to opet znači da postoji samo jedna vrednost realnog parametra [inlmath]k[/inlmath] za koje polazna jednačina (kvadratna po [inlmath]x[/inlmath]) ima tačno jedno rešenje.
Sve ovo deluje u redu, ali nije. A rekao bi čovek, ništa prostije od kvadratne jednačine. Šta mislite, u čemu je trik?

Radio sam jedan sličan zadatak ovome i koliko se ja sjećam fora je bila u tome da postoji beskonačno mnogo rješenja. Ne bih ni ja znao baš najbolje da objasnim zašto je to tako.

Tačan odgovor ovde je:
Postoje dve međusobno različite vrednosti parametra [inlmath]k[/inlmath] za koje jednačina po [inlmath]x[/inlmath] ima tačno jedno rešenje.

Ipak nije to slučaj kao u ovome. Da li je drugo rješenje kvadrat prvoga?

Nije.

S kojeg prijemnog je ovaj zadatak? Susretao sam se sa sličnim zadacima. Jedino što još meni pada na pamet da je drugo rješenje [inlmath]k=0[/inlmath].

kada je [inlmath]k=0[/inlmath] tada je to linearna jednacina i ona ima samo jedno rjesenje, to je druga vrijednost [inlmath]k[/inlmath] za koju ta jednacina ima samo jedno rjesenje

Jeste [inlmath]k=0[/inlmath] ta druga vrednost. Ja sam namerno sve vreme pisao o kvadratnoj jednačini, ali vas izgleda nisam uspeo zbuniti. Naime, nigde u postavci zadatka se ne kaže kvadratna jednačina, kažu samo jednačina. I u tome i jeste trik, za [inlmath]k=0[/inlmath] to je linearna, a ne kvadratna jednačina.

Gamma je napisao:S kojeg prijemnog je ovaj zadatak?

29.06.2004. Saobraćajni fakultet, Beograd.

Sinisa, ne moraš ponavljati moj odgovor. Jer dobili smo već jedan tačan.

Evo da nastavim temu sličnim zadatkom (malo je teži tehnički od prethodnog, ali nikakvih trikova nema):

Odrediti parametar [inlmath]m[/inlmath] tako da zbir kvadrata rešenja jednačine [inlmath]x^2-(2m-1)x-4m-3=0[/inlmath] bude minimalan.
Rezultat: [inlmath]m=-\frac{1}{2}[/inlmath]

iskoristime vietove formule i nadjemo prvi izvod

[inlmath]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/inlmath] u ovo uvrstimo vietove formule i nadjemo prvi izvod

Može i bez prvog izvoda, koristeći formulu za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath] koju primeniš na novu kvadratnu jednačinu, dobijenu Vietovim formulama.

Evo da nastavim temu, još jedan zadatak sa prijemnog ispita i s parametrom u kvadratnoj jednačini:

Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih celobrojnih vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje jednačina [inlmath]x^2-(m-3)x+m+5=0[/inlmath] ima oba rešenja negativna. Koliki je broj elemenata skupa [inlmath]S[/inlmath]?

Ja sam ga radio tako što sam pored uslova za diskriminantu kvadratne jednačine (dobih "lep" [inlmath]\sqrt{144}[/inlmath]) postavio i Vietovo pravilo [inlmath]x_1x_2=m+5>0[/inlmath].

Ponuđena rešenja su [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] za broj elemenata skupa [inlmath]S[/inlmath]. Ona evidentno smešna sam izbacio.
Šta mislite, koje je tačno od ova dva ponuđena rešenja i zašto?

Proizvod rjesenja je pozitivan a zbir negativan... nadje se presjek ta dva skupa i to je to

Pa jeste tako Sinisa, ali da li je [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath],baš tu su se koplja lomila...

Da li je moguće da baš niko ne zna (ili nikog ne zanima) ovaj zadatak?
Na prijemnom niko nije dobio tačno rešenje, od preko [inlmath]500[/inlmath] kandidata.
@Sinisa je odgovorio lakonski, nije to-to.

Pošto oba rešenja treba da budu negativna, potrebno je postaviti uslov da je veće od ta dva rešenja negativno. Tada će, logično, i ono manje rešenje biti negativno.
Naravno, uz uslov nenegativnosti diskriminante. E sad, ja namerno kažem nenegativnosti a ne pozitivnosti, jer, ako je diskriminanta nula, mi imamo jedinstveno rešenje, ali i njega možemo posmatrati kao dva međusobno jednaka rešenja. U zadatku nije rečeno da oba rešenja moraju biti međusobno različita, već samo da oba moraju biti negativna...

Dobije se da će za [inlmath]m\in\left\{-4,-3,-2,-1\right\}[/inlmath] oba rešenja biti negativna (s tim, da će za [inlmath]m=-1[/inlmath] oba rešenja biti i međusobno jednaka, tj. imaćemo jedinstveno rešenje jednačine).

@Daniel,
baš tako.
Zadatak sam i naveo jer su svi na prijemnom zaokružili [inlmath]3[/inlmath] a tačno rešenje je [inlmath]4[/inlmath] kao što si ti obrazložio.

@ desideri Naravno da zanima samo sam malo zakasnio s odgovorom. Daniel ga je već dao. Prosto to ne mogu da vjerujem da od 500 kandidata niko nije dao tačno rješenje. Uopšte nije komplikovan zadatak. Koji je fax u pitanju i koje godine?

@Gamma,
siguran sam da je zadatak bio prošle godine, na jednom tehničkom fakultetu u BG. Proveriću tačno na kome pa javljam.

Daniel je napisao:E sad, ja namerno kažem nenegativnosti a ne pozitivnosti, jer, ako je diskriminanta nula, mi imamo jedinstveno rešenje, ali i njega možemo posmatrati kao dva međusobno jednaka rešenja. U zadatku nije rečeno da oba rešenja moraju biti međusobno različita, već samo da oba moraju biti negativna...

Eto, ovako kao Daniel niko nije razmišljao. I zato su i grešili.