-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
Ilija
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Petak, 24. April 2015, 23:20
Ja bih pokazao način korišćenjem izvoda.
Prava se može posmatrati kao da se nalazi na [inlmath]x[/inlmath]-osi Dekartovog koordinatnog sistema, čime se ne umanjuje opštost ovog zadatka, i tada je, kako su i napisali,
[dispmath]s=\left|x-x_1\right|+\left|x-x_2\right|+\cdots+\left|x-x_7\right|[/dispmath]
[inlmath]s[/inlmath] će biti minimalno onda kada je njegov prvi izvod po [inlmath]x[/inlmath] jednak nuli, tj. [inlmath]s'_x=0[/inlmath].
Da bismo našli [inlmath]s'_x[/inlmath], posmatrajmo izvod apsolutne vrednosti. Pošto je, po definiciji,
[dispmath]\left|x\right|\:\overset{\mbox{def}}{=\!=}\:\begin{cases}
x, & x>0\\
0, & x=0\\
-x, & x<0
\end{cases}[/dispmath]
to će izvod apsolutne vrednosti biti
[dispmath]\left|x\right|'=\begin{cases}
1, & x>0\\
\mbox{nije definisan}, & x=0\\
-1, & x<0
\end{cases}[/dispmath]
Razmatrajmo dva slučaja: da se tačka [inlmath]P[/inlmath] ne poklapa ni s jednom od tačaka [inlmath]P_1,P_2,\ldots,P_7[/inlmath] i drugi slučaj, da se tačka [inlmath]P[/inlmath] poklapa s nekom od tih tačaka.
[inlmath]I[/inlmath] slučaj – tačka [inlmath]P[/inlmath] se ne poklapa ni s jednom od tačaka [inlmath]P_1,P_2,\ldots,P_7[/inlmath]:
Pošto nijedan od izraza [inlmath]x-x_1,\;x-x_2,\;\ldots,\;x-x_7[/inlmath] nije jednak nuli, to će svi izvodi [inlmath]\left|x-x_1\right|',\;\left|x-x_2\right|',\;\ldots,\;\left|x-x_7\right|'[/inlmath] biti definisani, pa možemo pisati
[dispmath]s'_x=\left|x-x_1\right|'+\left|x-x_2\right|'+\cdots+\left|x-x_7\right|'=0[/dispmath]
Pošto svaki od izraza mora biti ili [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], da bi njihov zbir bio jednak nuli, potrebno je da broj onih izraza koji su jednaki [inlmath]-1[/inlmath] bude jednak broju onih izraza koji su jednaki [inlmath]1[/inlmath]. Pošto je njihov ukupan broj neparan (tj. [inlmath]7[/inlmath]), sledi da njihov zbir nikako ne može biti [inlmath]0[/inlmath], prema tome, ovaj slučaj (da se tačka [inlmath]P[/inlmath] ne poklapa ni s jednom od zadatih tačaka) otpada.
[inlmath]II[/inlmath] slučaj – tačka [inlmath]P[/inlmath] se poklapa s jednom od tačaka [inlmath]P_1,P_2,\ldots,P_7[/inlmath]:
Neka se tačka [inlmath]P[/inlmath] poklapa s tačkom [inlmath]P_i[/inlmath]. Tada će biti [inlmath]x-x_i=0[/inlmath], pa se izraz za [inlmath]s[/inlmath] svodi na
[dispmath]s=\left|x-x_1\right|+\left|x-x_2\right|+\cdots+\left|x-x_{i-1}\right|+\left|x-x_{i+1}\right|+\cdots+\left|x-x_7\right|[/dispmath]
(dakle, preskočen je sabirak [inlmath]\left|x-x_i\right|[/inlmath], koji je jednak nuli)
Izvod od [inlmath]s[/inlmath] sada će biti
[dispmath]s'_x=\left|x-x_1\right|'+\left|x-x_2\right|'+\cdots+\left|x-x_{i-1}\right|'+\left|x-x_{i+1}\right|'+\cdots+\left|x-x_7\right|'=0[/dispmath]
Ovog puta imamo paran broj sabiraka, od kojih svaki može biti ili [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], tako da se može postići da njihov zbir bude nula. Broj sabiraka je [inlmath]6[/inlmath], tako da tri sabirka moraju biti [inlmath]-1[/inlmath], a preostala tri sabirka moraju biti [inlmath]1[/inlmath]. Pošto važi [inlmath]x_1<x_2<\cdots<x_7[/inlmath], to jest [inlmath]x-x_1>x-x_2>\cdots>x-x_7[/inlmath], sledi da, pošto je [inlmath]x-x_i=0[/inlmath], sabirci [inlmath]x-x_1[/inlmath] do [inlmath]x-x_{i-1}[/inlmath] moraju biti veći od nule (što znači da su izvodi njihovih apsolutnih vrednosti jednaki [inlmath]1[/inlmath]), dok su sabirci [inlmath]x-x_{i+1}[/inlmath] do [inlmath]x-x_7[/inlmath] manji od nule (a samim tim izvodi njihovih apsolutnih vrednosti jednaki [inlmath]-1[/inlmath]):
[dispmath]\underbrace{\left|x-x_1\right|'=\left|x-x_2\right|'=\cdots=\left|x-x_{i-1}\right|'}_{i-1\mbox{ sabiraka}}=1\\
\underbrace{\left|x-x_{i+1}\right|'=\left|x-x_{i+2}\right|'=\cdots=\left|x-x_7\right|'}_{7-i\mbox{ sabiraka}}=-1[/dispmath]
Pošto, da bi ukupan zbir bio [inlmath]0[/inlmath], broj sabiraka jednakih [inlmath]1[/inlmath] mora biti jednak broju sabiraka jednakih [inlmath]-1[/inlmath],
[dispmath]i-1=7-i\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{i=4}[/dispmath]
što znači da se tačka [inlmath]P[/inlmath] mora poklapati s tačkom [inlmath]P_4[/inlmath].
Ovo je moglo i sa mnogo manje pisanja a više intuicije, ali sam hteo da ovo pokažem strogo računskim putem.
Ako hoćeš, možeš napisati i to rešenje koje imaš a koje ti je nejasno, pa da pokušamo i njega da razjasnimo?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain