MATEMANIJA

Date su tačke [inlmath]P_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_7[/inlmath] na pravoj liniji, poređane sleva na desno po navedenom redosledu. Neka je [inlmath]P[/inlmath] proizvoljno izabrana tačka na pravoj i neka je [inlmath]s[/inlmath] zbir dužina duži [inlmath]PP_1,\;PP_2,\;\ldots,\;PP_7[/inlmath]. Zbir [inlmath]s[/inlmath] je najmanji ako i samo ako je tačka [inlmath]P[/inlmath]:

[inlmath]A)\;\mbox{sredina između }P_1\mbox{ i }P_2\qquad[/inlmath] [inlmath]B)\;\mbox{sredina između }P_2\mbox{ i }P_6\qquad[/inlmath] [inlmath]C)\;\mbox{sredina između }P_3\mbox{ i }P_6\qquad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{D)\;\mbox{u }P_4}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\mbox{u }P_1[/inlmath].

Konsultovao sam se sa Sinišom, i on mi reče da ga je lako rešiti zbog ponuđenih odgovora. Pak, ja sam i dalje zainteresovan za sam postupak rešavanja zadatka (kada ne bi postojali odgovori). Meni je dato rešenje da su sve dužine, tj. cela prava predstavljena kao funkcija [inlmath]f(x)=|x-x_1|+|x-x_2|+\cdots+|x-x_7|[/inlmath], pa se dalje to razmatra u osam intervala gde se gleda koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath], ali mi je to rešenje skroz nejasno.

P.S. Temu sam otvorio u ALGEBRI, jer je zadatak iz oblasti Linearne jednačine.

Ja bih pokazao način korišćenjem izvoda.

Prava se može posmatrati kao da se nalazi na [inlmath]x[/inlmath]-osi Dekartovog koordinatnog sistema, čime se ne umanjuje opštost ovog zadatka, i tada je, kako su i napisali,
[dispmath]s=\left|x-x_1\right|+\left|x-x_2\right|+\cdots+\left|x-x_7\right|[/dispmath]
[inlmath]s[/inlmath] će biti minimalno onda kada je njegov prvi izvod po [inlmath]x[/inlmath] jednak nuli, tj. [inlmath]s'_x=0[/inlmath].
Da bismo našli [inlmath]s'_x[/inlmath], posmatrajmo izvod apsolutne vrednosti. Pošto je, po definiciji,
[dispmath]\left|x\right|\:\overset{\mbox{def}}{=\!=}\:\begin{cases}
x, & x>0\\
0, & x=0\\
-x, & x<0
\end{cases}[/dispmath]
to će izvod apsolutne vrednosti biti
[dispmath]\left|x\right|'=\begin{cases}
1, & x>0\\
\mbox{nije definisan}, & x=0\\
-1, & x<0
\end{cases}[/dispmath]
Razmatrajmo dva slučaja: da se tačka [inlmath]P[/inlmath] ne poklapa ni s jednom od tačaka [inlmath]P_1,P_2,\ldots,P_7[/inlmath] i drugi slučaj, da se tačka [inlmath]P[/inlmath] poklapa s nekom od tih tačaka.

[inlmath]I[/inlmath] slučaj – tačka [inlmath]P[/inlmath] se ne poklapa ni s jednom od tačaka [inlmath]P_1,P_2,\ldots,P_7[/inlmath]:
Pošto nijedan od izraza [inlmath]x-x_1,\;x-x_2,\;\ldots,\;x-x_7[/inlmath] nije jednak nuli, to će svi izvodi [inlmath]\left|x-x_1\right|',\;\left|x-x_2\right|',\;\ldots,\;\left|x-x_7\right|'[/inlmath] biti definisani, pa možemo pisati
[dispmath]s'_x=\left|x-x_1\right|'+\left|x-x_2\right|'+\cdots+\left|x-x_7\right|'=0[/dispmath]
Pošto svaki od izraza mora biti ili [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], da bi njihov zbir bio jednak nuli, potrebno je da broj onih izraza koji su jednaki [inlmath]-1[/inlmath] bude jednak broju onih izraza koji su jednaki [inlmath]1[/inlmath]. Pošto je njihov ukupan broj neparan (tj. [inlmath]7[/inlmath]), sledi da njihov zbir nikako ne može biti [inlmath]0[/inlmath], prema tome, ovaj slučaj (da se tačka [inlmath]P[/inlmath] ne poklapa ni s jednom od zadatih tačaka) otpada.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj – tačka [inlmath]P[/inlmath] se poklapa s jednom od tačaka [inlmath]P_1,P_2,\ldots,P_7[/inlmath]:
Neka se tačka [inlmath]P[/inlmath] poklapa s tačkom [inlmath]P_i[/inlmath]. Tada će biti [inlmath]x-x_i=0[/inlmath], pa se izraz za [inlmath]s[/inlmath] svodi na
[dispmath]s=\left|x-x_1\right|+\left|x-x_2\right|+\cdots+\left|x-x_{i-1}\right|+\left|x-x_{i+1}\right|+\cdots+\left|x-x_7\right|[/dispmath]
(dakle, preskočen je sabirak [inlmath]\left|x-x_i\right|[/inlmath], koji je jednak nuli)
Izvod od [inlmath]s[/inlmath] sada će biti
[dispmath]s'_x=\left|x-x_1\right|'+\left|x-x_2\right|'+\cdots+\left|x-x_{i-1}\right|'+\left|x-x_{i+1}\right|'+\cdots+\left|x-x_7\right|'=0[/dispmath]
Ovog puta imamo paran broj sabiraka, od kojih svaki može biti ili [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], tako da se može postići da njihov zbir bude nula. Broj sabiraka je [inlmath]6[/inlmath], tako da tri sabirka moraju biti [inlmath]-1[/inlmath], a preostala tri sabirka moraju biti [inlmath]1[/inlmath]. Pošto važi [inlmath]x_1<x_2<\cdots<x_7[/inlmath], to jest [inlmath]x-x_1>x-x_2>\cdots>x-x_7[/inlmath], sledi da, pošto je [inlmath]x-x_i=0[/inlmath], sabirci [inlmath]x-x_1[/inlmath] do [inlmath]x-x_{i-1}[/inlmath] moraju biti veći od nule (što znači da su izvodi njihovih apsolutnih vrednosti jednaki [inlmath]1[/inlmath]), dok su sabirci [inlmath]x-x_{i+1}[/inlmath] do [inlmath]x-x_7[/inlmath] manji od nule (a samim tim izvodi njihovih apsolutnih vrednosti jednaki [inlmath]-1[/inlmath]):
[dispmath]\underbrace{\left|x-x_1\right|'=\left|x-x_2\right|'=\cdots=\left|x-x_{i-1}\right|'}_{i-1\mbox{ sabiraka}}=1\\
\underbrace{\left|x-x_{i+1}\right|'=\left|x-x_{i+2}\right|'=\cdots=\left|x-x_7\right|'}_{7-i\mbox{ sabiraka}}=-1[/dispmath]
Pošto, da bi ukupan zbir bio [inlmath]0[/inlmath], broj sabiraka jednakih [inlmath]1[/inlmath] mora biti jednak broju sabiraka jednakih [inlmath]-1[/inlmath],
[dispmath]i-1=7-i\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{i=4}[/dispmath]
što znači da se tačka [inlmath]P[/inlmath] mora poklapati s tačkom [inlmath]P_4[/inlmath].

Ovo je moglo i sa mnogo manje pisanja a više intuicije, ali sam hteo da ovo pokažem strogo računskim putem.

Ako hoćeš, možeš napisati i to rešenje koje imaš a koje ti je nejasno, pa da pokušamo i njega da razjasnimo?

Sve pohvale @Daniel. Moram priznati da mi je nakon sto procitah tvoje resenje i ovo dole napisano, jasnije, ali mi je ipak tvoje zanimljivije i razumljivije.

---

Resenje:
Zbir rastojanja [inlmath]s=PP_1+PP_2+\cdots+PP_7[/inlmath] moze se izraziti u obliku [inlmath](1)\;f(x)=\left|x-x_1\right|+\left|x-x_2\right|+\cdots+\left|x-x_7\right|[/inlmath], pri cemu je [inlmath]x_1<x_2<\cdots<x_7[/inlmath].

Ako funkciju [inlmath]f[/inlmath], datu sa [inlmath](1)[/inlmath], graficki prikazemo, dobijamo izlomljenu liniju. Zbog toga cemo ovu funkciju prikazati u sledecem obliku:
[dispmath]1^\circ\hspace{10mm}x<x_1\hspace{10mm}f(x)=-7x+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7[/dispmath][dispmath]2^\circ\hspace{10mm}x_1\le x<x_2\hspace{10mm}f(x)=-5x-x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7[/dispmath][dispmath]3^\circ\hspace{10mm}x_2\le x<x_3\hspace{10mm}f(x)=-3x-x_1-x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7[/dispmath][dispmath]4^\circ\hspace{10mm}x_3\le x<x_4\hspace{10mm}f(x)=-x-x_1-x_2-x_3+x_4+x_5+x_6+x_7[/dispmath][dispmath]5^\circ\hspace{10mm}x_4\le x<x_5\hspace{10mm}f(x)=x-x_1-x_2-x_3-x_4+x_5+x_6+x_7[/dispmath][dispmath]6^\circ\hspace{10mm}x_5\le x<x_6\hspace{10mm}f(x)=3x-x_1-x_2-x_3-x_4-x_5+x_6+x_7[/dispmath][dispmath]7^\circ\hspace{10mm}x_6\le x<x_7\hspace{10mm}f(x)=5x-x_1-x_2-x_3-x_4-x_5-x_6+x_7[/dispmath][dispmath]8^\circ\hspace{10mm}x\ge x_7\hspace{10mm}f(x)=7x-x_1-x_2-x_3-x_4-x_5-x_6-x_7[/dispmath]
Kao sto se vidi, u datim intervalima [inlmath]f(x)[/inlmath] se svodi na linearne funkcije.

U intervalima [inlmath]1^\circ[/inlmath], [inlmath]2^\circ[/inlmath], [inlmath]3^\circ[/inlmath] i [inlmath]4^\circ[/inlmath] koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath] je negativan, sto znaci da tada funckija [inlmath]f[/inlmath] opada.
U intervalima [inlmath]5^\circ[/inlmath], [inlmath]6^\circ[/inlmath], [inlmath]7^\circ[/inlmath] i [inlmath]8^\circ[/inlmath] koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath] je pozitivan, sto znaci da tada funckija [inlmath]f[/inlmath] raste.

Na osnovu toga zakljucujemo da funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath], tj. zbir [inlmath]s[/inlmath], ima najmanju vrednost za [inlmath]x=x_4[/inlmath] (granica izmedju intervala [inlmath]4^\circ[/inlmath] i [inlmath]5^\circ[/inlmath]). Tada je tacka [inlmath]P[/inlmath] u tacki [inlmath]P_4[/inlmath], sto znaci da je tacan odgovor pod [inlmath](D)[/inlmath].

Hvala. Možda je moje rešenje zanimljivije, ali njihovo rešenje mi se čini jednostavnijim. U svakom slučaju, dobro je što sad imamo oba načina rešavanja.

Evo i grafičke ilustracije njihovog rešenja, možda s njim bude jasniji njihov postupak. S grafika se tačno vidi da funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] ima minimum u [inlmath]x=x_4[/inlmath].


Ako treba još neki deo da se pojasni, javi.

Meni je palo na pamet da uradim izvod ali kad sam pokusao mislio sam da je to nemoguce... sada mi izgleda samo nemoguce da JA uradim izvod ovih apsolutnih...

-i dalje je jednostavnije uvrstiti rjesenja

Sinisa je napisao:i dalje je jednostavnije uvrstiti rjesenja

Jeste, ako se radi o tome da se postigne uspeh na prijemnom, iz čisto pragmatičnih razloga i ja sam za ovu ideju.

Hvala @Ilija za ovu temu. Tvoje rešenje je baš onako "školsko", da kažem akademsko, kako se i očekuje. Ali bih lično dao prednost rešenju @Daniel (kao što i ti reče), ubedljivo je najlepše u matematičkom smislu i, što je najvažnije, originalno je.
E sad, ja se izvinjavam, ali prosto moram da "upetljam" matematičku statistiku u ovu temu:

[inlmath]T_1:[/inlmath] Minimum srednjeg apsolutnog odstupanja slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] od datog realnog broja [inlmath]a[/inlmath] postiže se kada je [inlmath]a=M_e[/inlmath].

Ovde je sa [inlmath]M_e[/inlmath] označena medijana, a to je u datom zadatku upravo [inlmath]P_4[/inlmath].
Pretpostavljam da sam preterao sa širenjem teme, garantovano nisu mislili da se ovo radi primenom verovatnoće i statistike, al' dobro, što reče @Daniel, nije loše pokazati više različitih pristupa.

Mi u srednjoj nismo ucili izvode apsolutnih vrijednosti... a nismo ni statistiku mislim da se od nas ocekuje da znamo samo rjesenje koje je @ilija dao..

Pa baš tako, @Sinisa, u pravu si 100%.
A fazon sa uvrštavanjem rešenja je super za ovaj zadatak, ali to ne pije vodu uvek. Pričam ovo zbog svih ostalih, da ne pomisle kako je to univezalni princip.

Sinisa je napisao:Mi u srednjoj nismo ucili izvode apsolutnih vrijednosti...

Nema šta tu posebno ni da se uči, ako znaš da je za [inlmath]x>0[/inlmath] apsolutna vrednost [inlmath]x[/inlmath] jednaka [inlmath]x[/inlmath], tada je i izvod aposolutne vrednosti [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]1[/inlmath]... A ako je [inlmath]x<0[/inlmath], tada je apsolutna vrednost [inlmath]x[/inlmath] jednaka [inlmath]-x[/inlmath], pa je tada izvod apsolutne vrednosti [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-1[/inlmath]... To je cela mudrolija...

desideri je napisao:Ovde je sa [inlmath]M_e[/inlmath] označena medijana, a to je u datom zadatku upravo [inlmath]P_4[/inlmath].

Ako može samo pojašnjenje – na osnovu čega zaključujemo ovo boldovano, budući da tačke ne moraju biti na međusobno jednakim rastojanjima (ne moraju biti ekvidistantno raspoređene)?

Daniel je napisao:Ako može samo pojašnjenje – na osnovu čega zaključujemo ovo boldovano, budući da tačke ne moraju biti na međusobno jednakim rastojanjima (ne moraju biti ekvidistantno raspoređene)?

Apsolutno zaslužuje pojašnjenje. Mislim da je tom pojašnjenju mesto u posebnoj temi, u okviru podforuma Verovatnoća. Ja se već duže premišljam da pokrenem temu u vezi sa matematičkom statistikom, i tu sam prelomio posle konsultacija sa @Ilija. Hoću. I on je zainteresovan, a biće sigurno još ljudi. Ako se slažete, kažite, malo je statistike na forumu . Po mom mišljenju, i to je matematika

Ja sam zainteresovan, svakako. Ovde ćemo samo staviti link ka toj novoj temi.

Evo i ja sam ovo sve pogledao. Mogu reći poprilično jasna mi je većina stvari. Stvar koja me zbunjuje je kako izvod od [inlmath]|x|[/inlmath] za [inlmath]x=0[/inlmath] nije definisan. Po mojoj nekoj logici tada bi [inlmath]f(x)=0[/inlmath] i [inlmath]f'(x)=0[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] tretiramo kao konstantu.

Gamma je napisao:Stvar koja me zbunjuje je kako izvod od [inlmath]|x|[/inlmath] za [inlmath]x=0[/inlmath] nije definisan.

Ovo je po mom mišljenju sjajno pitanje. Uostalom, što bi rek'o moj stari profesor, ne postoje glupa pitanja, postoje samo glupi odgovori.
Evo, nadam se da moj odgovor nije glup
Funkcija [inlmath]f(x)=|x|[/inlmath] ima "špic" za [inlmath]x=0[/inlmath]. Ako je "glatka" u toj tački, onda je prvi izvod definisan. Ako je "špic", onda nije definisan prvi izvod. Ali je, svejedno, to minimum date funkcije. E sad, ja sam ovo totalno slobodnim rečima interpretirao, no ti pitaj ako matematički to nije jasno. A mislim da je jasno ovo "špic" i ovo "glatko", to su bili jedini termini koji su mi pali na pamet.

Evo još malo: funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] je "glatka" u tački [inlmath]x=0[/inlmath] i tu je prvi izvod definisan.

To je odgovor koji sam tražio, veoma slikovito objašnjeno. Predpostavljam kada bi se ovo objašnjavalo matematički svodilo bi se na priču o limesima.

desideri je napisao:

Gamma je napisao:Stvar koja me zbunjuje je kako izvod od [inlmath]|x|[/inlmath] za [inlmath]x=0[/inlmath] nije definisan.

Ovo je po mom mišljenju sjajno pitanje. Uostalom, što bi rek'o moj stari profesor, ne postoje glupa pitanja, postoje samo glupi odgovori.

Sećam se da sam tu rečenicu i ja non-stop kô papagaj ponavljao tokom prvih par godina postojanja ovog foruma. Ali, iskustvo s čitanjem raznih pitanja po ovom forumu me tokom vremena u tome demantovalo.
Da ne bude zabune – ovime nikako ne aludiram na ovo konkretno pitanje, za koje se slažem da je sasvim na mestu.

Moj profesor na faksu je to objašnjavao na sličan način – bilo koji deo funkcije koji je neravan ali nije „šiljak“ možemo zumirati i zumirati i zumirati i, nakon dovoljnog zumiranja, dobićemo približno linearni deo funkcije, koji će se poklopiti s tangentom na tu funkciju (a nagib te tangente predstavlja izvod). S druge strane, „šiljak“, koliko god da ga zumiramo – uvek ostaje „šiljak“.

O toj nediferencijabilnosti u „šiljku“ možeš pročitati i u sledećim postovima:
viewtopic.php?p=545#p545 (prvi pasus)
viewtopic.php?p=2755#p2755 (poslednji pasus)
viewtopic.php?p=6595#p6595 (četvrti pasus od kraja)