MATEMANIJA

Radim logaritme iz Venea 2, i imam problema sa ovim zadacima, pa bi mi dobro dosla pomoc od vas
[dispmath]1266.\quad x+\log\left(1+2^x\right)=x\log5+\log6[/dispmath][dispmath]1271.\quad x^{\log x}=16\left(6\cdot x^{\log\sqrt x}+25\right)[/dispmath][dispmath]1272.\quad 5\log_{\frac{x}{9}}x+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2[/dispmath]

Pozdrav. Zamolio bih te da procitas Pravilnik i temu Osobine logaritma.

Sto se tice prve jednacine, a i ostalih sve se svodi na transformacije i koriscenje osobina logaritma.
[dispmath]x+\log\left(1+2^x\right)=x\cdot\log5+\log6[/dispmath][dispmath]x-x\cdot\log5=\log6-\log\left(1+2^x\right)[/dispmath][dispmath]x\cdot(1-\log5)=\log\left(\frac{6}{1+2^x}\right)[/dispmath][dispmath]x\cdot\log2=\log\left(\frac{6}{1+2^x}\right)[/dispmath][dispmath]\log{2^x}=\log\left(\frac{6}{1+2^x}\right)[/dispmath]
Sad antilogaritmujes, dobijes kvadratnu po [inlmath]2^x[/inlmath], sto i uvedes za smenu, i nakon toga dobijes jedno prihvatljivo resenje [inlmath]x=1[/inlmath].

@Markoj96,
pozdrav i od mene. Dobro došao na forum.
@Ilija me preduhitrio komentarom :

Ilija je napisao:Pozdrav. Zamolio bih te da procitas Pravilnik i temu Osobine logaritma.

Namerno izostavih drugi link u citatu jer se toga setio Ilija, ne ja.
Molim te da ne postavljaš više zadataka u istu temu.
Za svaku je pohvalu što odmah koristiš Latex
Pri tome, zadatak 1272. je očigledno pogrešno nakucan. Nemam izvor, tj. zbirku koju si naveo (i super što si je naveo), no trebalo bi ispraviti postavku zadatka.
Pozdrav još jednom.

imas negdje gresku, kada uvedes [inlmath]x=1[/inlmath] ne dobijes tacnu jednakost... dobijes: [inlmath]\frac{1}{2}=\frac{6}{3}[/inlmath] a to nije tacna jednakost

u trecem koraku u prvoj zagradi treba [inlmath]"-"[/inlmath] a dole umjesto [inlmath]"1/2^x"[/inlmath] treba biti [inlmath]"2^x"[/inlmath]

Sinisa je napisao:u trecem koraku u prvoj zagradi treba [inlmath]"-"[/inlmath] a dole umjesto [inlmath]"1/2^x"[/inlmath] treba biti [inlmath]"2^x"[/inlmath]

Zamolio bih moderatore da isprave, posto mi je to sada onemoguceno.

@Ilija,
sad sam ispravljao, molim te da potvrdiš da je ok.
Hvala puno i tebi i Sinisi.

Hvala na ispravci @desideri. A sto se tice drugog zadatka, pogledah sad i zadatak [inlmath]1272.[/inlmath] glasi
[dispmath]5\log_{\frac{x}{9}}x+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2[/dispmath]

Evo i mog postupka za 1266. zadatak (tj. prvi od ova tri postavljena), malo drugačijeg od Ilijinog postupka, čisto da imamo više načina.
[dispmath]x+\log\left(1+2^x\right)=x\log5+\log6\\
x\log10+\log\left(1+2^x\right)=x\log5+\log6\\
\log10^x+\log\left(1+2^x\right)=\log5^x+\log6\\
\log\left[10^x\left(1+2^x\right)\right]=\log\left(6\cdot5^x\right)\\
10^x\left(1+2^x\right)=6\cdot5^x\\
2^x\cancel{5^x}\left(1+2^x\right)=6\cdot\cancel{5^x}\\
\left(2^x\right)^2+2^x-6=0\\
\left(2^x\right)_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\cdot6}}{2}\\
\cancel{\left(2^x\right)_1=-3}\quad\lor\quad\left(2^x\right)_2=2\\
\enclose{box}{x=1}[/dispmath]
Eto, @Markoj96, dobio si dva kompletna postupka za jedan od zadataka koje si postavio, iako inače nije praksa na ovom forumu da radimo kompletnu izradu zadataka. Od tebe bih sad očekivao da za preostala dva zadatka, u skladu s tačkom 6. Pravilnika, navedeš bilo kakvo svoje razmišljanje, ideju, i da preciziraš u kom delu rešavanja ti je potrebna pomoć.

@Ilija,
ja mislim da smo svi skupa i previše pomogli našem novom korisniku koji ipak nije kriv, nije stigao da pročita pravilnik .
No to bi trebalo tolerisati u prvom postu, po mom mišljenju, i molim da budem ispravljen ako grešim.
Svejedno je super što si našao originalnu postavku zadatka 1272. da znamo na čemu smo.
Ja bih sačekao šta na sve ovo ima da kaže naš novi korisnik. Ili bilo koji korisnik.
A kad smo se već trudili, evo i slike:

Izvinjavam se sto nisam procitao pravila, mislio sam da ne bih odmah otvarao 3 teme zbog 3 zadatka, da stavim sve u jednu.
Ne mogu da vidim gde sam pogresio u 1272 zadatku, ne vidim razliku izmedju Ilijinog zadatka i mog.
Ako ne uspem da resim druga dva zadatka, da li smem da otvorim novu temu, i stavim samo jedan zadatak?

Razlike više i nema, jer sam u međuvremenu korigovao tvoj post.
A, inače, zadatak je, kako si ga prvobitno bio postavio, glasio
[dispmath]1272.\quad 5\log_{\frac{x}{9}}+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2[/dispmath]
tj. prvi logaritam je bio napisan bez argumenta (numerusa).

Možemo nastaviti i o druga dva zadatka u ovoj temi, kad si ih već ovde postavio. Bitno je samo da, ako budeš imao problema, napišeš dokle si stigao s postupkom.

Hvala vam , i jos jednom izvinjavam se
Pa ako nije problem da se nastavi, ovaj 1271 sam ovako poceo i dobio jedno resenje, dok u zbirci ima dva:
[dispmath]x^{\log x}=16\left(6\cdot x^{\log\sqrt x}+25\right)\\
x^{\log\sqrt x}=t\\
t^2-96t-499=0\\
t_{1/2}=\frac{96\pm\sqrt{9216+1600}}{2}\\
t_{1/2}=\frac{96\pm104}{2}\\
t_1=100\\
t_2=-4\\
x^{\log\sqrt x}=100\\
x^{\frac{1}{2}\log x}=100\\
\frac{1}{2}\log_{10}x\cdot\log_{10}x=2\\
\frac{1}{2}\log_{10}x^2=2\\
\log_{10}x=2\\
x=100[/dispmath]
Nadam se da nisam omasio u kucanju ovog latexa, ali sam dobio jedno resenje, samo [inlmath]100[/inlmath]. Dok u zbirci je [inlmath]100[/inlmath], i [inlmath]\frac{1}{100}[/inlmath]
I ako moze da se resi preostali, treci zadatak, 1272

Imaš grešku u korijenovanju.Treba ovako
[dispmath]\log_{10}{x}=\pm2\\
x_1=100\quad x_2=\frac{1}{100}[/dispmath]

Cek, nisam trebao da iz korena izvlacim [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] ispred ?
Mozes da mi napises tacno kako bi trebalo, malo sam se zbunio sad, da l' sto vec dugo radim pa mi opala koncentracija ili sta je u pitanju, ne znam

Markoj96 je napisao:[dispmath]\frac{1}{2}\log_{10}{x}\cdot\log_{10}{x}=2\\
\frac{1}{2}\log_{10}x{\color{red}^2}=2\\
\log_{10}x={\color{red}2}\\
x=100[/dispmath]

Treba ovako:
[dispmath]\frac{1}{2}\log_{10}x\cdot\log_{10}x=2\\
\frac{1}{2}\log^2_{10}x=2\\
\log^2_{10}x=4[/dispmath]

Tako je Ilija. Upravo na to se odnosi moja priča.

Momci, hvala vam!
Ja sam se prebacio na
[dispmath]\frac{1}{2}\log_{10}x\cdot\log_{10}x=2\\
\frac{1}{2}\log_{10}x^{\color{red}2}=2[/dispmath]
Pa sam onda [inlmath]2[/inlmath] izneo ispred i skratio, i zato pogresno uradio.
Hvala jos jednom, ako neko moze, nek uradi samo ovaj zadatak sto je preostao u ovoj temi, hvala unapred. Mnogo mi je pomoglo ovo

Sve moraš svesti na bazu [inlmath]3[/inlmath]. Uvedeš smjenu [inlmath]t=\log_{3}x[/inlmath]. I na kraju se dobije kvadratna jednačina po [inlmath]t[/inlmath].
[dispmath]2t^2-3t+1=0\\
t_1=1,\;t_2=\frac{1}{2}\\
\log_3x=1,\;\log_3x=\frac{1}{2}\\
x_1=3,\;x_2=\sqrt3[/dispmath]

Samo da se nadovežem na ovo što su ti Gamma i Ilija odgovorili u vezi s drugim zadatkom – znači, @Markoj96, obrati pažnju na notaciju, tj. na razliku između [inlmath]\log_a^2b[/inlmath] i [inlmath]\log_ab^2[/inlmath]:
[dispmath]\log_a^2b=\left(\log_ab\right)^2\\
\log_ab^2=\log_a\left(b^2\right)[/dispmath]