MATEMANIJA

Zadatak je sa prijemnog sa ETF-a 2006.
Skup svih vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koje vazi nejednakost
[dispmath]\frac{20-8^{2\sqrt x+1}-64^{2\sqrt x}}{\left(2^x-1\right)\left(2^x-4\right)}>0[/dispmath]
je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] takve da je [inlmath]0<a<b<+\infty[/inlmath])?
Rešenje: [inlmath](a,b)[/inlmath]
Nije mi u potpunosti jasno šta se zahteva u zadatku. Ne uspevam ni da rešim ovu nejednačinu.
Pokušala sam da uvedem smenu i da sve svedem na [inlmath]2^\sqrt x[/inlmath], ali ne ide.
Ono što sam tako dobila je:
[dispmath]\frac{20-8t^6-t^2}{t^4-5t^2+4}>0[/dispmath]
Može pomoć da rešim ili neko pojašnjenje

Rastavi nejednačinu na dva slučaja. Razlomak je veći od nule kada je i brojnik i nazivnik negativan ili pozitivan.

Znam to, ali skoro sam pa sigurna da ovo nije tačno. A i ne znam šta cu sa ovim stepenima...

stavi smjenu [inlmath]t=8^{2\sqrt x}[/inlmath] i u brojiocu ces dobiti kvadratnu jednacinu... sada vidi kada je brojilac pozitivan a kada negativan, to isto uradi i za imenilac i onda trazi presjek skupova kada su i brojilac i imenilac negativni ili oba pozitivni

A kako cu zbog imenioca, posto mi je dole [inlmath]2[/inlmath]?

uvedi smjenu za brojilac, nadji rjesenja, iskoristi formulu [inlmath](x-x_1)(x-x_2)[/inlmath] i tada vrati smjenu... nakon toga koristi tabelu da rjesis nejednacinu

ovako ti je mozda jednostavnije za shvatiti, da je ne moras rastavljati na dva slucaja... bitno je samo da sve bude u obliku proizvoda

Za nazivnik ne treba ti nikakva smjena. U njemu imaš proizvod dva činioca. Poslije je sve lako, mislim odrediti kada je pozitivan i kada je negativan.

@Siniša, probala sam kako si mi objasnio. Za brojilac dobijam dva rešenja to su [inlmath]-10[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]. Prvo otpada. E sad, brojilac je pozitivan kada [inlmath]t\in(-10,2)[/inlmath] kada vratim smenu, kako da napisem interval, kada [inlmath]-10[/inlmath] otpada?

[inlmath]x[/inlmath] se nalazi pod korijenom, [inlmath]x\ge0\;\Rightarrow\;t\ge1[/inlmath], uradis presjek tog intervala [inlmath]t[/inlmath] sa ovim skupovima...
[dispmath]t\in[1,2)\\
t=8^{2\sqrt x}\\
1=8^{2\sqrt x}\\
x=0[/dispmath]
[dispmath]2=8^{2\sqrt x}\\
2\sqrt x=\frac{1}{3}\\
x=\frac{1}{36}[/dispmath]
[dispmath]x\in\left[0,\frac{1}{36}\right)[/dispmath]
sada ovo rastavi preko formule [inlmath]a(x-x_1)(x-x_2),\;a<0[/inlmath]

Možeš razmišljati i ovako:

Nakon faktorisanja brojioca, treba da se dobije sledeći oblik nejednačine:
[dispmath]\frac{-\left(8^{2\sqrt x}+10\right)\left(8^{2\sqrt x}-2\right)}{\left(2^x-1\right)\left(2^x-4\right)}>0[/dispmath]
Faktor [inlmath]\left(8^{2\sqrt x}+10\right)[/inlmath] je uvek veći od nule, a pošto je [inlmath]x>0[/inlmath] (da bi nejednačina bila definisana), takođe je i faktor [inlmath]\left(2^x-1\right)[/inlmath] uvek veći od nule. Ti faktori, pošto su uvek pozitivni, nemaju uticaja na predznak izraza na levoj strani nejednačine, pa ih zato možemo i izostaviti, nakon čega se nejednačina svodi na
[dispmath]\frac{-\left(8^{2\sqrt x}-2\right)}{2^x-4}>0[/dispmath]
tj. na
[dispmath]\frac{8^{2\sqrt x}-2}{2^x-4}<0[/dispmath]
Rešenje ove nejednačine je [inlmath]x\in\left(\frac{1}{36},2\right)[/inlmath]. To rešenje je tipa [inlmath]x\in\left(a,b\right)[/inlmath], tj. [inlmath]x[/inlmath] pripada otvorenom intervalu, što je odgovor koji se tražio. Znači, rešenje nije tipa [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath], [inlmath]\left(a,b\right][/inlmath], ili [inlmath]\left[a,b\right)[/inlmath], već tipa [inlmath]\left(a,b\right)[/inlmath]. U tome je poetna pitanja.