MATEMANIJA

Imam problema sa 1302. zadatakom iz VENEa 2, u pitanju je logaritamska nejednacina:
[dispmath]\log_{\left(2x^2-x\right)}(2x+2)<1[/dispmath]
Ovako sam poceo, prvo kada je osnova veca od [inlmath]1[/inlmath]
[inlmath]a>1[/inlmath]
[dispmath]2x^2-x>1\\
2x^2-x-1>0\\
x_{1/2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}\\
x_1=1\\
x_2=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]X=\left\{-\infty,-\frac{1}{2}\right\}\cup\{1,+\infty\}[/dispmath]
Pa sam sada krenuo da radim
[dispmath]0<2x+2<2x^2-x[/dispmath]
Onda sam to razdvojio da bi bilo preglednije
[dispmath]2x+2>0\\
x>-1[/dispmath]
Zatim
[dispmath]2x+2<2x^2-x\\
2x^2-3x-2>0\\
x_{1/2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}\\
x_1=2\\
x_2=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]X=\left\{-\infty,-\frac{1}{2}\right\}\cup\{2,+\infty\}[/dispmath]
Presekom ovih svih, dobija se:
[dispmath]X=\left\{-1,-\frac{1}{2}\right\}\cup\{2,+\infty\}[/dispmath]



Zatim sam radio kada je osnova
[inlmath]0<a<1[/inlmath]
[dispmath]0<2x^2-x<1\\
2x^2-x>0\\
x(2x-1)=0\\
\begin{array}{lll}
x=0 & \lor & 2x-1=0\\
& & x=\frac{1}{2}
\end{array}\\
X=\left\{\frac{1}{2},+\infty\right\}[/dispmath]
Zatim
[dispmath]2x^2-x-1<0\\
x_{1/2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}\\
x_1=1\\
x_2=-\frac{1}{2}\\
x=\left\{-\frac{1}{2},\right\}[/dispmath]
To su bili uslovi, sada jos jedan rad:
[dispmath]2x+2>2x^2-x\\
2x^2-3x-2<0[/dispmath]
Iz te kvadratne jednacine se dobijaju resenja kao gore
[dispmath]x_1=2\\
x_2=-\frac{1}{2}[/dispmath]
Samo sto ovoga puta ide drugaciji skup
[dispmath]x=\left\{-\frac{1}{2},2\right\}[/dispmath]
E tu sam se onda zbunio i upao u problem, takodje mislim da [inlmath]X[/inlmath] ne sme da bude [inlmath]0[/inlmath].
Onda sam dobio resenja (kada je [inlmath]0<a<1[/inlmath])
[dispmath]x=\left\{\frac{1}{2},0\right\}\;\cup\;\{0,1\}[/dispmath]

I na kraju, sva cetiri resenja su
[dispmath]x=\left\{-1,-\frac{1}{2}\right\}\;\cup\;\{2,+\infty\}\;\cup\;\left\{\frac{1}{2},0\right\}\;\cup\{0,1\}[/dispmath]
I ona mi se ne poklapaju sa resenjima u zbirci.
Ili sam ja gresio negde, ili u zbirci nisu dobra resenja?

Imaš grešku. Trebalo bi da kod obe zagrade ide [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]. I ovo zadnje treba da ide od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] a ne [inlmath]0[/inlmath].

[dispmath]x\in\left(-1,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(2,+\infty\right)\\
x\in\left(-\frac{1}{2},0\right)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)[/dispmath]
Ovo su ti resenja za [inlmath]a>1[/inlmath] odnosno [inlmath]0<a<1[/inlmath].
Njihova unija je upravo ono sto je i dato u zbirci kao resenje.

A gde sam pogresio, mozete li mi to reci ?

Kada je [inlmath]0<a<1[/inlmath] uslovi su
[dispmath]x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\\
x\in\left(-\frac{1}{2},1\right)\\
x\in\left(-\frac{1}{2},2\right)[/dispmath]
pa ti nadji gde si pogresio
za [inlmath]a>1[/inlmath] si dobro uradio.

I, nemoj intervale označavati vitičastim zagradama. Vitičastim zagradama se označavaju elementi skupa.
Za označavanje intervala koriste se male (oble) zagrade kada je interval otvoren, odnosno uglaste zagrade kada je interval zatvoren.

Na primer, kada napišeš [inlmath]x\in\left\{-\frac{1}{2},2\right\}[/inlmath], to znači da [inlmath]x[/inlmath] može imati samo vrednosti [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath], dok ako napišeš [inlmath]x\in\left(-\frac{1}{2},2\right)[/inlmath] to znači da [inlmath]x[/inlmath] može imati bilo koju vrednost između [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], s tim da ne može imati krajnje vrednosti tog intervala, tj. [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath].

Takođe, interval [inlmath]\left\{\frac{1}{2},0\right\}[/inlmath] (pod pretpostavkom da si mislio na oble zagrade umesto na vitičaste) – ne znači ništa. Uvek se prvo navodi manja vrednost, pa zatim veća. Zapis [inlmath]x\in\left(\frac{1}{2},0\right)[/inlmath] značio bi isto što i [inlmath]\frac{1}{2}<x<0[/inlmath], a to je sâmo po sebi kontradiktorno, jer bi iz toga sledilo da je [inlmath]\frac{1}{2}<0[/inlmath].

I, još jednom, sve pohvale za način na koji si postavio pitanje.

Markoj96 je napisao:[dispmath]2x^2-x>0\\
x(2x-1)=0\\
\begin{array}{lll}
x=0 & \lor & 2x-1=0\\
& & x=\frac{1}{2}
\end{array}[/dispmath]

-ovde si napravio gresku, ovo je kvadratna jednacina gdje je [inlmath]a>0[/inlmath] sto znaci da je otvor parabole okrenut prema gore, pa je ona pozitivna za interval [inlmath](-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)[/inlmath]

i pazi pri pisanju konacnog rjesenja, rjesenje drugog slucaja ce biti presjek sva 3 skupa koja dobijes... ta 3 skupa je vec napisao @bobanex