MATEMANIJA

[dispmath]\sqrt{x^2+x+\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{13}[/dispmath]
Dobijem neki glupi korijen iz [inlmath]57[/inlmath]
Pokusao sam i smjenu, [inlmath]t^2=x^2+x+1[/inlmath]
Ali opet bude taj korijen
Zanima me samo da li je greska u zadatku...

Jeste, dobije se rešenje u kojem figuriše [inlmath]\sqrt{57}[/inlmath].
Inače sam išao preko smene [inlmath]x^2+x=t[/inlmath].
Proveri još jednom da li zadatak zaista tako glasi.

Dobro je prepisan, ovo je zadatak koji smo davno imali za zadacu (a ja tu zadacu nisam uradio) i dok sam listao svesku podsjetio me na zadatke sa prijemnih pa sam htio da ga uradim vjerovatno je prvi put bio pogresno prepisan...

Pa šta ako su "ružna" rešenja?
Meni je jedino netačno rešenje ružno
Dobio sam:
[dispmath]x_1=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{55-2\sqrt{57}}\right)[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{55-2\sqrt{57}}\right)[/dispmath]

Ja sam koristio smenu [inlmath]x^2+x+1=t^2[/inlmath] i dosao do [inlmath]t_{1/2}=\frac{-1\pm\sqrt{57}}{2}[/inlmath]

I ja sam isto rjesenje dobio, ali posle dobijem korijen iz korijena pa sam mislio da sam negdje napravio gresku, a nisam je mogao naci

Hvala puno na pomoci, izgleda da sam ja nekada davno pogresno perepisao zadatak... a mozda mi se i tinta razmazala

@bobanex, @Sinisa
Ako ste uveli smenu [inlmath]x^2+x+1=t^2[/inlmath], nije trebalo da dobijete [inlmath]t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{57}}{2}[/inlmath], već [inlmath]t_{1,2}=\pm\frac{1-\sqrt{57}}{2}[/inlmath].
Moguće da ste prevideli to da [inlmath]\sqrt{t^2}[/inlmath] nije jednako [inlmath]t[/inlmath], već [inlmath]\left|t\right|[/inlmath]. Proverite.

Nije u vezi sa ovim zadatkom, ali je tema slicna prethodnom postu koji je napisao @Daniel.

Ako dobijem sledece resenje jednacine, zanima me kako da posmatram tu apsolutnu vrednost za dobijanje konacnih resenja?
[dispmath]x_{1,2}=\frac{\left(3+\sqrt3\right)\pm\left|\sqrt3-1\right|}{2}[/dispmath]

Apsolutne zagrade ignorises u tom slucaju

Ako se nigde drugde u formuli ne pojavljuje znak [inlmath]\pm[/inlmath], izraz [inlmath]\pm\left|a-b\right|[/inlmath] možeš komotno zameniti izrazom [inlmath]\pm\left(a-b\right)[/inlmath], upravo zbog tog plus/minusa ispred zagrade.

Evo i da dokažem:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]a\ge b\quad\Rightarrow\quad a-b\ge0\quad\Rightarrow\quad\left|a-b\right|=a-b:[/inlmath]
[dispmath]\pm\underbrace{\left|a-b\right|}_{a-b}=\pm\left(a-b\right)[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]a<b\quad\Rightarrow\quad a-b<0\quad\Rightarrow\quad\left|a-b\right|=b-a:[/inlmath]
[dispmath]\pm\underbrace{\left|a-b\right|}_{b-a}=\pm\left(b-a\right)=\mp\left(a-b\right)=\pm\left(a-b\right)[/dispmath]
Međutim, ovo što sam u poslednjem koraku uradio, tj. zamenio znak [inlmath]\pm[/inlmath] znakom [inlmath]\mp[/inlmath], ne bih smeo da uradim ako se još negde u izrazu pojavljuje [inlmath]\pm[/inlmath] ili [inlmath]\mp[/inlmath]. Npr. kod izraza [inlmath]\pm\left|a-b\right|\mp c[/inlmath] i te kako je bitno da ostane apsolutna vrednost, jer u slučaju uzimanja minusa ispred [inlmath]c[/inlmath] moramo uzeti plus ispred apsolutne vrednosti, kao i obratno.

Međutim, pošto u tvom izrazu to nije slučaj, možeš bez problema i da se oslobodiš apsolutne vrednosti:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{\left(3+\sqrt3\right)\pm\left(\sqrt3-1\right)}{2}[/dispmath]
mada je i očigledno da je [inlmath]\left|\sqrt3-1\right|=\sqrt3-1[/inlmath], jer je izraz unutar ove apsolutne vrednosti uvek veći od nule...

@Ilija, samo što si postavio to pitanje i ja ti odgovorio, eto, već se desio jedan zadatak u kome sam upravo to i primenio...

Ako ignorisem apsolutnu vrednost dobijem resenja [inlmath]x_1=2[/inlmath] i [inlmath]x_2=1+\sqrt3[/inlmath], a tacna resenja su [inlmath]x_1=1[/inlmath] i [inlmath]x_2=2+\sqrt3[/inlmath].

Ako su tačna rešenja [inlmath]x_1=1[/inlmath] i [inlmath]x_2=2+\sqrt3[/inlmath], to znači da ti sâm izraz [inlmath]x_{1,2}=\frac{\left(3+\sqrt3\right)\pm\left|\sqrt3-1\right|}{2}[/inlmath] nije tačan.

Ajd, ako hoćeš, postavi ceo zadatak, al' u zasebnu temu.

Imam gresku pod korenom. Umesto [inlmath]\left|\sqrt3-1\right|[/inlmath], treba da stoji [inlmath]\left|\sqrt3+1\right|[/inlmath] (jer je meni [inlmath]6\sqrt3-4\sqrt3[/inlmath] jednako [inlmath]-2\sqrt3[/inlmath], a ne [inlmath]2\sqrt3[/inlmath]). Desava se.