MATEMANIJA

Izračunati vrednost izraza
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2y}{x^2+y^2}\cdot\left(\frac{x}{xy+y^2}+\frac{y}{x^2+xy}\right)\right]\div\frac{y}{x-y}[/dispmath]
za [inlmath]x=0,75[/inlmath] i [inlmath]y=-1,5[/inlmath]

Znam da zadatak nije komplikovan, ali prvi deo prve zagrade nmg lepo da dobijem, krajnji rezultat treba da se dobije [inlmath]-1[/inlmath].

[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2y}{x^2+y^2}\left(\frac{x}{xy+y^2}+\frac{y}{x^2+xy}\right)\right]:\frac{y}{x-y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2y}{x^2+y^2}\left(\frac{x\left(x^2+xy\right)+y\left(xy+y^2\right)}{\left(xy+y^2\right)\left(x^2+xy\right)}\right)\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2y}{x^2+y^2}\left(\frac{x^3+x^2y+xy^2+y^3}{x^3y+x^2y^2+x^2y^2+xy^3}\right)\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2y}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^3+x^2y+xy^2+y^3}{xy\left(x^2+2xy+y^2\right)}\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^3+y^3+x^2y+xy^2}{(x+y)^2}\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x}{x^2+y^2}\cdot\frac{(x+y)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy(x+y)}{(x+y)^2}\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x}{x^2+y^2}\cdot\frac{(x+y)\left(x^2-xy+y^2+xy\right)}{(x+y)^2}\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x}{x^2+y^2}\cdot\frac{(x+y)\left(x^2+y^2\right)}{(x+y)^2}\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x}{x+y}\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\left[\frac{x^2-x^2+xy}{(x-y)(x+y)}\right]\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\frac{xy}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{x-y}{y}[/dispmath]
[dispmath]\frac{x}{x+y}[/dispmath]
posto je [dispmath]x=0.75[/dispmath]
a
[dispmath]y=-1.5[/dispmath]
onda sledi
[dispmath]\frac{0.75}{0.75-1.5}[/dispmath]
i dobijamo da je resenje
[dispmath]\frac{0.75}{-0.75}[/dispmath]
tj.
[dispmath]-1[/dispmath]

Mislim da može još za nijansu elegantnije, tako što se u izrazu
[dispmath]\frac{x^2y}{x^2+y^2}\cdot\left(\frac{x}{xy+y^2}+\frac{y}{x^2+xy}\right)[/dispmath]
u imeniocima unutar zagrade izvuče [inlmath]y[/inlmath], tj. [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x^2y}{x^2+y^2}\cdot\left[\frac{x}{y\left(x+y\right)}+\frac{y}{x\left(x+y\right)}\right][/dispmath]
pa se [inlmath]\left(x+y\right)[/inlmath] izvuče ispred cele zagrade:
[dispmath]\frac{x^2y}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{x+y}\cdot\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{x+y}\cdot\frac{x^2+y^2}{xy}[/dispmath]
pa se gore i dole skrati [inlmath]\left(x^2+y^2\right)[/inlmath], a takođe i [inlmath]xy[/inlmath], što je dozvoljeno, budući da je [inlmath]x\ne 0[/inlmath] i [inlmath]y\ne 0[/inlmath], pa ostaje:
[dispmath]\frac{x}{x+y}[/dispmath]
pa će ceo izraz biti:
[dispmath]\left(\frac{x^2}{x^2-y^2}-\frac{x}{x+y}\right)\div\frac{y}{x-y}[/dispmath]
i dalje je sve isto kao što je forzajuve radio.

Drugi nacin dosta jednostavniiji, po meni Tako sam i uradila izvukla [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ispred zagrada, ali nikad mi ne bi palo na pamet da [inlmath]x+y[/inlmath] izvucem ispred zagrade. Hvala na trudu, pomogli ste