MATEMANIJA

Znam resenja zadatka zahvaljujuci geogebri, medjutim nesto me zanima... Prvo da napisem zadatak:
Koliko celih brojeva zadovoljava jednacinu?
[dispmath]x\cdot3^{\large\log_x5}=15[/dispmath]
U sustini najobicnijom logikom dosao sam do zakljucka da tu definitivno spadaju brojevi [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], jer kad se zamene za [inlmath]x[/inlmath] dobije se [inlmath]15[/inlmath]. Ono sto mene zanima jeste:
Kod gomile zadataka mora se obracati paznja na uslove ili se rade nekom metodom gde se ukljucuju sva resenja. Ne svidja mi se ovo radjenje napamet, a bas da skiciram funkciju [inlmath]f(x)=x\cdot3^{\large\log_x5}-15[/inlmath]... uzelo bi malo vremena dragocenog vremena kog na prijemnom nemam. Kako da dokazem sebi da nema vise resenja ove jednacine ili, ako nisam u pravu, dokazem sebi (ili opet, nekom drugom) da tu ima jos resenja. Nadam se da nisam zakomplikovao, hvala unapred.

Pa, ja bih to ovako (naravno, uslovi definisanosti su [inlmath]x>0[/inlmath] i [inlmath]x\ne1[/inlmath]):
[dispmath]\left.x\cdot3^{\large\log_x5}=3\cdot5\quad\right/\log_x\\
\log_xx+\log_x3^{\large\log_x5}=\log_x3+\log_x5\\
1+\log_x5\log_x3=\log_x3+\log_x5[/dispmath]
Pa sad možemo [inlmath]\log_x3[/inlmath] napisati kao [inlmath]\log_53\log_x5[/inlmath] (mogli smo i [inlmath]\log_x5[/inlmath] napisati kao [inlmath]\log_35\log_x3[/inlmath], svejedno):
[dispmath]1+\log_x5\log_53\log_x5=\log_53\log_x5+\log_x5[/dispmath]
Smena [inlmath]\log_x5=t[/inlmath],
[dispmath]\left.1+t^2\log_53=t\log_53+t\quad\right/\cdot\log_35\\
\log_35+t^2=t+t\log_35\\
\vdots[/dispmath]
središ to malo, rešiš kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath], dobiješ rešenja [inlmath]t_{1,2}=\frac{1+\log_35\pm\left(1-\log_35\right)}{2}[/inlmath] i, odatle, [inlmath]x_1=3[/inlmath] i [inlmath]x_2=5[/inlmath]...

Uradio sam ga (zbog apsolutne vrednosti na kraju ), samo sam logaritmovao sa [inlmath]\log_{10}[/inlmath] i uveo smenu [inlmath]t=\log_{10}x[/inlmath].

Mo'š da logaritmuješ za koju god 'oćeš osnovu. Evo, ja ga sad uradih logaritmovavši sa [inlmath]\ln[/inlmath], uz smenu [inlmath]\ln x=t[/inlmath].

Ilija je napisao:Uradio sam ga (zbog apsolutne vrednosti na kraju )

Ilija kanda aludira na ovu raspravu.