MATEMANIJA

Zdravo svima, treba mi pomoc oko ovog zadatka

Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2+4(m-1)x-m^2-1=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath]. Ako je [inlmath](1-x_1)(1-x_2)\ge0[/inlmath], tada vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] pripada skupu:
Rešenje je: [inlmath]\left(1,2\right][/inlmath].
Ja sam izmnožila [inlmath](1-x_1)(1-x_2)\ge0[/inlmath] i dobila da je [inlmath]-1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/inlmath], a zatim sam dobijeni izraz pomnozila sa [inlmath]-1[/inlmath] i dobila izraz [inlmath]x_1+x_2-x_1x_2\ge1[/inlmath],a zatim primenila Vietove formule i dobila da je [inlmath](m-2)^2\ge0[/inlmath] iz čega je [inlmath]m=2[/inlmath], tako da mi je rešenje uslova koji su oni dali u odnosu na parametar [inlmath]m[/inlmath] [inlmath](-\infty,2)\cup(2,+\infty)[/inlmath], uzela sam da je drugi uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath] i dobila neku kvadratnu jednačinu medjutim, ne dobijam dobra rešenja, ako neko može da mi kaže gde grešim bila bih zahvalna.

Ako ne gresim, kada se mnozi sa [inlmath]-1[/inlmath] menja se znak nejednakosti?

Zdravo, uočio sam nekoliko grešaka u postupku. Idemo redom.

anna_ je napisao:Ja sam izmnožila [inlmath](1-x_1)(1-x_2)\ge0[/inlmath] i dobila da je [inlmath]{\color{red}-}1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/inlmath]

Crveno obležen minus je suvišan, ne treba tu da stoji.

anna_ je napisao:a zatim sam dobijeni izraz pomnozila sa [inlmath]-1[/inlmath] i dobila izraz [inlmath]x_1+x_2-x_1x_2\ge1[/inlmath]

Kao što reče zlatna ribica, množenjem negativnom vrednošću menja se smer znaka nejednakosti. Dakle, prethodna jednačina, ispravno napisana, glasila bi
[dispmath]1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/dispmath]
zatim sve članove u kojima figuriše [inlmath]x[/inlmath] prebaciš na desnu stranu,
[dispmath]1\ge x_2+x_1-x_1x_2[/dispmath]

anna_ je napisao:a zatim primenila Vietove formule i dobila da je [inlmath](m-2)^2\ge0[/inlmath] iz čega je [inlmath]m=2[/inlmath]

Iz [inlmath](m-2)^2\ge0[/inlmath] ne sledi [inlmath]m=2[/inlmath], već sledi da [inlmath]m[/inlmath] može biti bilo koji realan broj, tj. [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath]. Međutim, da si krenula od ispravne nejednačine, [inlmath]1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/inlmath], dobila bi [inlmath](m-2)^2{\color{red}\le}0[/inlmath], a ta nejednačina ima samo jedno rešenje, [inlmath]m=2[/inlmath]. Eto, nekim slučajem, i pored ovih grešaka, dobila si tačno rešenje.

anna_ je napisao:iz čega je [inlmath]m=2[/inlmath], tako da mi je rešenje uslova koji su oni dali u odnosu na parametar [inlmath]m[/inlmath] [inlmath](-\infty,2)\cup(2,+\infty)[/inlmath]

Skup [inlmath]\left(-\infty,2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath] predstavlja sve realne brojeve osim broja [inlmath]2[/inlmath], tako da je to upravo suprotno od rešenja [inlmath]m=2[/inlmath].

anna_ je napisao:uzela sam da je drugi uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath] i dobila neku kvadratnu jednačinu medjutim, ne dobijam dobra rešenja, ako neko može da mi kaže gde grešim bila bih zahvalna.

A koja rešenja dobijaš i možeš li napisati kako si došla do njih?

Dobila sam kvadratnu jednačinu [inlmath]5m^2-8m+5\ge0[/inlmath], i onda treba da [inlmath]m\in(-\infty,+\infty)[/inlmath]

Jeste, dobije se ta kvadratna nejednačina i ona je zadovoljena za svako [inlmath]m[/inlmath], jer je diskriminanta te nejednačine negativna.

Presek rešenja te nejednačine, [inlmath]m\in\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath] i onog prethodnog rešenja, [inlmath]m=2[/inlmath], daje konačno rešenje zadatka, a to je [inlmath]m=2[/inlmath].

Kako onda da rešenje bude [inlmath]m\in\left(1,2\right][/inlmath]?

Tako lepo, zato što dvojka pripada intervalu [inlmath]\left(1,2\right][/inlmath].

Hahaha
Hvalaaa

Moramo malo da se uozbiljimo.
Da li si sigurna da ovako piše za rešenje:

anna_ je napisao:Rešenje je: [inlmath](1,2][/inlmath].

Naime, pošto se traži:

anna_ je napisao:tada vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] pripada skupu:

onda je po mom mišljenju napravljena greška u postavci zadatka. Skup se ovako ne obeležava, već sa vitičastim zagradama. Ovo je interval vrednosti.
Naravno da je tačno sve prethodno izneseno (Danielov odgovor), ali te molim za izvor, ko je taj koji interval proglašava skupom
Sve ovo postujem jer smatram da si se opravdano zbunila. Neka je sa bilo kog prijemnog zadatak, jednostavno ne mogu se tako zbunjivati ljudi .

A zašto da ne? Pa i skup realnih brojeva, [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], jeste skup, iako predstavlja interval [inlmath]\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath]?
I skup pozitivnih realnih brojeva, [inlmath]\mathbb{R}^+[/inlmath], jeste skup, iako predstavlja interval [inlmath]\left(0,+\infty\right)[/inlmath]?
Itd...