MATEMANIJA

Zdravo svima, treba mi pomoc oko ovog zadatka

Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2+4(m-1)x-m^2-1=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath]. Ako je [inlmath](1-x_1)(1-x_2)\ge0[/inlmath], tada vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] pripada skupu:
Rešenje je: [inlmath]\left(1,2\right][/inlmath].
Ja sam izmnožila [inlmath](1-x_1)(1-x_2)\ge0[/inlmath] i dobila da je [inlmath]-1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/inlmath], a zatim sam dobijeni izraz pomnozila sa [inlmath]-1[/inlmath] i dobila izraz [inlmath]x_1+x_2-x_1x_2\ge1[/inlmath],a zatim primenila Vietove formule i dobila da je [inlmath](m-2)^2\ge0[/inlmath] iz čega je [inlmath]m=2[/inlmath], tako da mi je rešenje uslova koji su oni dali u odnosu na parametar [inlmath]m[/inlmath] [inlmath](-\infty,2)\cup(2,+\infty)[/inlmath], uzela sam da je drugi uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath] i dobila neku kvadratnu jednačinu medjutim, ne dobijam dobra rešenja, ako neko može da mi kaže gde grešim bila bih zahvalna.

Ako ne gresim, kada se mnozi sa [inlmath]-1[/inlmath] menja se znak nejednakosti?

Zdravo, uočio sam nekoliko grešaka u postupku. Idemo redom.

anna_ je napisao:Ja sam izmnožila [inlmath](1-x_1)(1-x_2)\ge0[/inlmath] i dobila da je [inlmath]{\color{red}-}1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/inlmath]

Crveno obležen minus je suvišan, ne treba tu da stoji.

anna_ je napisao:a zatim sam dobijeni izraz pomnozila sa [inlmath]-1[/inlmath] i dobila izraz [inlmath]x_1+x_2-x_1x_2\ge1[/inlmath]

Kao što reče zlatna ribica, množenjem negativnom vrednošću menja se smer znaka nejednakosti. Dakle, prethodna jednačina, ispravno napisana, glasila bi
[dispmath]1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/dispmath]
zatim sve članove u kojima figuriše [inlmath]x[/inlmath] prebaciš na desnu stranu,
[dispmath]1\ge x_2+x_1-x_1x_2[/dispmath]

anna_ je napisao:a zatim primenila Vietove formule i dobila da je [inlmath](m-2)^2\ge0[/inlmath] iz čega je [inlmath]m=2[/inlmath]

Iz [inlmath](m-2)^2\ge0[/inlmath] ne sledi [inlmath]m=2[/inlmath], već sledi da [inlmath]m[/inlmath] može biti bilo koji realan broj, tj. [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath]. Međutim, da si krenula od ispravne nejednačine, [inlmath]1-x_2-x_1+x_1x_2\ge0[/inlmath], dobila bi [inlmath](m-2)^2{\color{red}\le}0[/inlmath], a ta nejednačina ima samo jedno rešenje, [inlmath]m=2[/inlmath]. Eto, nekim slučajem, i pored ovih grešaka, dobila si tačno rešenje.

anna_ je napisao:iz čega je [inlmath]m=2[/inlmath], tako da mi je rešenje uslova koji su oni dali u odnosu na parametar [inlmath]m[/inlmath] [inlmath](-\infty,2)\cup(2,+\infty)[/inlmath]

Skup [inlmath]\left(-\infty,2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath] predstavlja sve realne brojeve osim broja [inlmath]2[/inlmath], tako da je to upravo suprotno od rešenja [inlmath]m=2[/inlmath].

anna_ je napisao:uzela sam da je drugi uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath] i dobila neku kvadratnu jednačinu medjutim, ne dobijam dobra rešenja, ako neko može da mi kaže gde grešim bila bih zahvalna.

A koja rešenja dobijaš i možeš li napisati kako si došla do njih?

Dobila sam kvadratnu jednačinu [inlmath]5m^2-8m+5\ge0[/inlmath], i onda treba da [inlmath]m\in(-\infty,+\infty)[/inlmath]

Jeste, dobije se ta kvadratna nejednačina i ona je zadovoljena za svako [inlmath]m[/inlmath], jer je diskriminanta te nejednačine negativna.

Presek rešenja te nejednačine, [inlmath]m\in\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath] i onog prethodnog rešenja, [inlmath]m=2[/inlmath], daje konačno rešenje zadatka, a to je [inlmath]m=2[/inlmath].

Kako onda da rešenje bude [inlmath]m\in\left(1,2\right][/inlmath]?

Tako lepo, zato što dvojka pripada intervalu [inlmath]\left(1,2\right][/inlmath].

Hahaha
Hvalaaa

Moramo malo da se uozbiljimo.
Da li si sigurna da ovako piše za rešenje:

anna_ je napisao:Rešenje je: [inlmath](1,2][/inlmath].

Naime, pošto se traži:

anna_ je napisao:tada vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] pripada skupu:

onda je po mom mišljenju napravljena greška u postavci zadatka. Skup se ovako ne obeležava, već sa vitičastim zagradama. Ovo je interval vrednosti.
Naravno da je tačno sve prethodno izneseno (Danielov odgovor), ali te molim za izvor, ko je taj koji interval proglašava skupom
Sve ovo postujem jer smatram da si se opravdano zbunila. Neka je sa bilo kog prijemnog zadatak, jednostavno ne mogu se tako zbunjivati ljudi .

A zašto da ne? Pa i skup realnih brojeva, [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], jeste skup, iako predstavlja interval [inlmath]\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath]?
I skup pozitivnih realnih brojeva, [inlmath]\mathbb{R}^+[/inlmath], jeste skup, iako predstavlja interval [inlmath]\left(0,+\infty\right)[/inlmath]?
Itd...

Da, tako piše. Zadatak je sa prijemnog sa FON-a iz 2013, drugi rok.

Daniel,
po meni je greška u notaciji, to jest obeležavanju iliti u zagradama.
Ako se kaže skup elemenata, to je onda na primer:
[dispmath]S=\{1,2\}[/dispmath]
I to je to.
Ako se kaže skup, a stavi se interval [inlmath]\left(1,2\right][/inlmath], to po meni nije fer.
Skup se sastoji od elemenata i može se, naravno, zadati na više načina (intervalom, pa i drugačije...) ali ja sam stvarno u većini (velikoj većini!) zadataka sa prijemnih ispita koje sam gledao video da se
skup
elemenata, ako se nudi u rešenju, označava vitičastim zagradama.

Hajde da, pre svega, razjasnimo neke stvari oko kojih bi moglo biti nesporazuma.

Da li [inlmath]\in[/inlmath] označava pripadnost nekog elementa nekom skupu, a zatim, da li su [inlmath]\cup[/inlmath], [inlmath]\cap[/inlmath] i [inlmath]\setminus[/inlmath] operacije nad skupovima?

Ako je odgovor na prethodno pitanje potvrdan, da li bi to značilo da su sledeći zapisi pogrešni?
[inlmath]x\in\left[a,b\right)\\
\left(a,b\right)\cup\left[c,d\right)\\
\left[a,b\right)\cap\left[c,d\right]\\
\mathbb{R}\setminus\left(0,1\right][/inlmath]
?

Daniel,
uopšte se ne razumemo. Pusti te simbole, označavanja, pitanja i odgovore koje svi naši korisnici znaju, ne razumem uopšte zašto postavljaš trivijalna pitanja
Razmisli, molim te, o ovome:

anna_ je napisao:Rešenje je: [inlmath]\left(1,2\right][/inlmath].

da li je ovo u redu?
da li je u redu da ovo bude ponuđeno rešenje?
To je interval, ponavljam po ko zna koji put, a ne skup.
I loša je formulacija.
I tačka.

Još jedan veliki pozdrav ljudi

Izvinjavam se, najpre, što ponovo aktiviram već odavno "završenu" temu, ali imam jedno pitanje, koje možda može pomoći još nekome ko ima sličnu nedoumicu.
U zadacima sa realnim parametrom (kod kvadratnih (ne)jednačina, dakle kada postoji diskriminanta), skoro pa uvek sebi postavljam isto pitanje, tako i ovde:

Da li je ovde zaista potreban uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath], kao što je to @anna_ pomenula, a kroz odgovore potvrdio Daniel?

U zadacima, primera radi, kada se traže rešenja različitog znaka, jasno mi je da diskriminanta mora biti veća od nule, zato što kompleksni brojevi nemaju znak, ali u zadacima ovog tipa, gde je u pitanju nekakav izraz sa korenima jednačine, ja zaista nisam siguran da li je ovaj uslov neophodan. Ako jeste, da li bi neko mogao da mi pojasni zašto?

Kao i bezbroj prethodnih puta, hvala svim ljudima na ovom forumu koji doprinose mom, i ne samo mom, boljem razumevanju matematike

iYzee17 je napisao:U zadacima, primera radi, kada se traže rešenja različitog znaka, jasno mi je da diskriminanta mora biti veća od nule, zato što kompleksni brojevi nemaju znak

Ne bih ja to tako formulisao.
Kada su rešenja kvadratne jednačine kompleksna (a samim tim i konjugovano-kompleksna), tada je njihov proizvod sigurno realan i pozitivan (i to strogo pozitivan), jer:
[dispmath]x_1x_2=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2>0[/dispmath] (ne može biti nula, jer kad bi bio nula, to bi onda značilo da je [inlmath]a=b=0[/inlmath], a to onda i ne bi bili kompleksni brojevi).
Odatle sledi da, kada su rešenja različitog znaka, tj. kada je njihov proizvod negativan, sama rešenja sigurno moraju biti realna. Tada nema potrebe ispitivati diskriminantu, jer znamo da je ona pozitivna.

Međutim, kada je proizvod rešenja kvadratne jednačine pozitivan, tada to može biti posledica kompleksnih rešenja, ali može biti i posledica realnih rešenja (ako su ta realna rešenja istog znaka). Zbog toga tada ne možemo samo na osnovu pozitivnosti proizvoda (čak i kad bismo znali znak zbira rešenja) znati jesu li rešenja realna ili kompleksna, pa ako želimo realna rešenja moramo još postaviti i uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath]. To je slučaj i u ovom zadatku, u kojem čak i ne znamo kog je znaka proizvod rešenja.

iYzee17 je napisao:Kao i bezbroj prethodnih puta, hvala svim ljudima na ovom forumu koji doprinose mom, i ne samo mom, boljem razumevanju matematike

Hvala i tebi za feedback. Trudimo se.