MATEMANIJA

Pronadji [inlmath]x[/inlmath], ako je:
[dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(x\right)=\log_5\left(1-x\right)[/dispmath]
Kontam mozda treba zasebno rijesavati:
[dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_5\left(1-x\right)[/dispmath]
Ali i opet ne vidim kako doci do rijesenja.

Samo da dodam ETF Banjaluka [inlmath]27.08.2008.[/inlmath] peti zadatak.
Koliko se sjećam dobije se da jednačina nema rješenja. Kreni sa svođenjem na istu bazu, ja sam korisito dekadnu.

ja sam tu izrazio oba [inlmath]\log_{15}\frac{2}{9}=\log_3(x)=\log_5(1−x)[/inlmath] ali ne vidim kako bi dobio resenje jer jedno [inlmath]x=10^{\Large\frac{\log\frac{2}{9}\cdot\log3}{\log5+1}}[/inlmath] a drugo [inlmath]x=1−10^{\Large\frac{\log\frac{2}{9}}{1+\log3}}[/inlmath] ali ne vidim kako bih to izracunao

Izvinjavam se sto opet pisem ali bih voleo ako neko moze detaljnije da mi objasni sta da radim posle resavanja sistema jer ja brojcane prednosti ne mogu da dobijem a moj postupak je isao ovako
[dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left[\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}\right]=\log_3\left(x\right)[/dispmath]
posto sam izjednacio ona sam sklonio [inlmath]\log_3[/inlmath] i dobio da mi je
[dispmath]x=\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}[/dispmath]
sada u drugom slucaju kada je [inlmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_5\left(1-x\right)[/inlmath]
[dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_5\left[\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}\right]=\log_5\left(1-x\right)[/dispmath][dispmath]\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}=(1-x)[/dispmath]
odavde izrazim [inlmath]x[/inlmath] i dobijem
[dispmath]x=1-\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}[/dispmath]
i poslednji slucaj kada je
[dispmath]\log_3\left(x\right)=\log_5\left(1-x\right)[/dispmath]
ja sam hteo da gledam ovo kao [inlmath]x_1=\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}[/inlmath]
dok ce ova da bude [inlmath]x_2=1-\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}[/inlmath] pa da uporedim vrednosti i ako je [inlmath]x_1=x_2[/inlmath] i da mi se posle toga zadovolji [inlmath]\log_3\left(x\right)=\log_5\left(1-x\right)[/inlmath] onda je tacna ali moj problem je sto ne mogu da dobijem numericke vrednosti za [inlmath]x_1,x_2[/inlmath] onda ni ne znam kako bih zavrsio zadatak.

[inlmath]X_1[/inlmath] i [inlmath]X_2[/inlmath] su razlicite vrijednosti, sto znaci da dati sistem nema rijesenja.

Potvrđujem da rešenja nema.
Ovo zaista nije u redu, postave zadatak bez rešenja i očekuju od ljudi da ga reše.

U redu je postaviti zadatak koji nema rešenja, ali nije u redu postaviti zadatak za koji nije moguće drugačije osim numerički (bar je ne vidim načina) dokazati da rešenja nema (tj. kako analitičkim putem dokazati da je [inlmath]x_1\ne x_2[/inlmath] – pretpostavljam da upotreba kalkulatora ili logaritamskih tablica nije dozvoljena).

@matija, ako može pojašnjenje u vezi s ovim,

matija je napisao:[dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left[\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}\right][/dispmath]

ova jednakost jeste tačna, proverio sam, ali možeš li objasniti kako si do nje došao?

Drugo,

matija je napisao:i dobio da mi je
[dispmath]x=\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}[/dispmath]

zar ne bi bilo jednostavnije da smo iz [inlmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_3\left(x\right)[/inlmath] lepo napisali da je [inlmath]x=3^{\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}[/inlmath]?

I još ovo,

matija je napisao:ja sam tu izrazio oba [inlmath]\log_{15}\frac{2}{9}=\log_3(x)=\log_5(1−x)[/inlmath] ali ne vidim kako bi dobio resenje jer jedno [inlmath]x=10^{\Large\frac{\log\frac{2}{9}\cdot\log3}{\log5+1}}[/inlmath] a drugo [inlmath]x=1−10^{\Large\frac{\log\frac{2}{9}}{1+\log3}}[/inlmath] ali ne vidim kako bih to izracunao

Ova rešenja nisu tačna. Svođenjem na bazu [inlmath]10[/inlmath] dobilo bi se [inlmath]x=10^{\Large\frac{\log\frac{2}{9}\cdot\log3}{\color{red}\log15}}[/inlmath] i [inlmath]1-10^{\Large\frac{\log\frac{2}{9}\cdot{\color{red}\log5}}{\color{red}\log15}}[/inlmath].

@Daniel , posto nisam video gresku kad sam svodio na bazu [inlmath]10[/inlmath] , ucinilo mi se da mogu da dobijem bolji rezultat ako iskoristim [inlmath]\log_b\left(y\right)=x[/inlmath] onda je [inlmath]\log_{cb}\left(yc^x\right)=x[/inlmath] , jer sam hteo nekako da dokazem da resenje ne postoji pa sam mislio da cu moci bolje da poredim [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] ako napisem vrednosti u tom obliku.

Znači, zapravo ta transformacija ide ovako,
[dispmath]\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_33^{\large\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}=\log_3\left(15\cdot\frac{1}{5}\right)^{\large\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}=\\
=\log_3\left[15^{\large\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}\left(\frac{1}{5}\right)^{\large\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}\right]=\log_3\left[\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^{\large\log_{15}\left(\frac{2}{9}\right)}\right][/dispmath]
Da, definitivno previše posla, a ništa se posebno time ne dobija...