MATEMANIJA

Trudim se da pocnem zadatak, da biste mi odgovorili, da ne bude da zelim samo na gotovo, ali ne ide.
Dakle, zadatak glasi: Ukupan broj realnih resenja jednacine (napisacu ispod), jednak je:
[dispmath]\sqrt{3\cdot2^{\log_{10}2x}+1}+\sqrt{2\cdot2^{\log_{10}2x}+9}=\sqrt{13\cdot2^{\log_{10}2x}-4}[/dispmath]
Posto je iracionalna jednacina, trebalo bi prvo da idu uslovi, da bi se kasnije kvadriralom, ako se tako radi kada su logaritmi u pitanju pod korenom ?

[inlmath]3\cdot2^{\log_{10}2x}+1\ge0[/inlmath]

[inlmath]2\cdot2^{\log_{10}2x}+9\ge0[/inlmath]

[inlmath]13\cdot2^{\log_{10}2x}-4\ge0[/inlmath]

Problem mi je resavanje logaritma, probao sam sa [inlmath]a=b^{\log_ba}[/inlmath] ali nisam uspeo, stao sam kod ovoga [inlmath](\log_{10}2+\log_{10}x)\log_{10}2[/inlmath]
Trudim se da objasnim sto bolje sto mi ne radi, da sto vise napisem, kao sto sam rekao, da ne bude da cekam sve na gotov, jer i sam ne volim kad nekome radim nesto sve sam, na gotovo

Zadatak je sa ETFa iz 2012, 16 zadatak. Tacan odgovor je [inlmath]1[/inlmath]

Ma, ja bih tu lepo uveo smenu [inlmath]2^{\log_{10}2x}=t[/inlmath], naravno uz prethodni uslov definisanosti [inlmath]x>0[/inlmath], i zatim rešavao iracionalnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath], postavivši prethodno uslove definisanosti za [inlmath]t[/inlmath]...

Jeste, dobije se samo jedno rešenje, [inlmath]t=8[/inlmath], tj. nakon vraćanja smene, [inlmath]x=500[/inlmath].

Jedno veliko hvala za zadatak, a kada ste mi vec pomogli i uradio sam ga, evo da podelim sa drugima, ako nekome zatreba.
Ako mozete, promenite naslov teme, da bude lakse za pretragu, 16. Zadatak (ETF 2012) ili tako nesto, pa ako budem imao vremena na raspustu, da sto vise zadataka postavim, ili da u jednu temu (ako je to dozvoljeno), napisem postupke za ceo 1 prijemni (onoliko koliko znam)

I hvala 'desideri', na ispravljenoj pravopisnoj gresci, 'bi ste' > 'biste'. U brzini kucanja masim, inace ne pravim takve pravopisne greske, bar se trudim da ne pravim
[dispmath]\begin{matrix}
\sqrt{3t+1} & \sqrt{2t+9} & = & \sqrt{13t-4}\\
t\ge-\frac{1}{3} & t \ge-\frac{9}{2} & & t\ge\frac{4}{13}
\end{matrix}[/dispmath]
Kvadriramo obe strane, i dobijamo:
[dispmath]3t+1+2\sqrt{(3t+1)(2t+9)}+2t+9=13-4t[/dispmath]
Sredimo malo levo stranu
[dispmath]5t+10+2\sqrt{6t^2+29t+9}=13-4t[/dispmath]
Ostavimo koren na levoj strani
[dispmath]2\sqrt{6t^2+29t+9}=8t-14[/dispmath]
Opet idemo uslov:
[inlmath]t\ge\frac{7}{4}[/inlmath]

Sada opet kvadriramo obe strane, dobijamo:
[dispmath]4\left(6t^2+29t+9\right)=64t^2-224t+196[/dispmath]
Sredimo levo stranu:
[dispmath]24t^2+116t+36=64t^2-224t+196[/dispmath]
Prebacimo sve na desnu stranu, da bi [inlmath]t^2[/inlmath] bilo pozivitno, da ne bismo morali da mnozimo sa [inlmath]-1[/inlmath] (ovako barem ja radim, jer je lakse za racunanje)
Dobijamo:
[dispmath]40t^2-340t+160=0[/dispmath]
Skratimo sa [inlmath]20[/inlmath] da bismo lakse izracunali
[dispmath]2t^2-17t+8=0[/dispmath]
Dobijamo resenja
[dispmath]t_1=8\\
t_2=\frac{1}{2}[/dispmath]
Zbog uslova koji moraju biti ispunjeni dobijamo da jedino moze [inlmath]t_1=8[/inlmath]

I sada to vratimo u [inlmath]t[/inlmath]:

[inlmath]2^{\log_{10}2x}=2^3[/inlmath] ([inlmath]2^3[/inlmath] je [inlmath]8[/inlmath])

[dispmath]\log_{10}2x=3\\
2x=1000\\
x=500[/dispmath]
I to je jedno jedino resenje, ako hocemo da proverimo da li je jednakost tacna ili ako nekoga zanima kako bi izgledalo kada zamenimo, evo:

Sada [inlmath]x[/inlmath] vratimo u logaritam, da bi bilo lakse za pisanje
[inlmath]\log_{10}2\cdot500\\
\log_{10}1000=3[/inlmath]
Vratimo u jednacinu, i dobijemo:
[dispmath]\sqrt{3\cdot2^3+1}+\sqrt{2\cdot2^3+9}=\sqrt{13\cdot2^3-4}[/dispmath][dispmath]\sqrt{25}+\sqrt{25}=\sqrt{100}[/dispmath][dispmath]5+5=10[/dispmath]

Markoj96 je napisao:Jedno veliko hvala za zadatak, a kada ste mi vec pomogli i uradio sam ga, evo da podelim sa drugima, ako nekome zatreba.

Veliko hvala i tebi što si sve ovo napisao, nije bio mali posao.

Markoj96 je napisao:Ako mozete, promenite naslov teme, da bude lakse za pretragu, 16. Zadatak (ETF 2012) ili tako nesto,

Naslov teme je sasvim dobar, ne bih ga menjao. Piše već ETF 2012, ne moramo detaljisati s rednim brojem zadatka.

Markoj96 je napisao:pa ako budem imao vremena na raspustu, da sto vise zadataka postavim, ili da u jednu temu (ako je to dozvoljeno), napisem postupke za ceo 1 prijemni (onoliko koliko znam)

To bi bilo stvarno lepo od tebe, ali, naravno, nemoj da ti predstavlja opterećenje, već isključivo ako bi to radio iz gušta.

Markoj96 je napisao:I hvala 'desideri', na ispravljenoj pravopisnoj greski, 'bi ste' > 'biste'. U brzini kucanja masim, inace ne pravim takve pravopisne greske, bar se trudim da ne pravim

Bio sam i ja onda slobodan da ti ispravim „da ne bi morali da mnozimo“ i „Skratimo sa [inlmath]20[/inlmath] da bi lakse izracunali“. Ta greška se, inače, vrlo često pravi. Dakle – ja bih – ti bi – on bi – mi bismo – vi biste – oni bi.
Ispravih ti i ovo „greški“ u „grešci“ (sibilarizacija).

Male dopune u vezi s tvojim (inače, sasvim tačnim) postupkom:

Markoj96 je napisao:[dispmath]\begin{matrix}
\sqrt{3t+1} & \sqrt{2t+9} & = & \sqrt{13t-4}\\
t\ge-\frac{1}{3} & t \ge-\frac{9}{2} & & t\ge\frac{4}{13}
\end{matrix}[/dispmath]

Ovde bi valjalo reći da od ova tri uslova uzimamo ovaj poslednji, [inlmath]t\ge\frac{4}{13}[/inlmath], budući da je on „najjači“, tj. sadrži u sebi i ova prva dva uslova. To jest, kad je ispunjen taj uslov, automatski su ispunjena i prva dva, zbog čega je dovoljno posmatrati samo ispunjenost tog poslednjeg uslova.

Markoj96 je napisao:Ostavimo koren na levoj strani
[dispmath]2\sqrt{6t^2+29t+9}=8t-14[/dispmath]
Opet idemo uslov:
[inlmath]t\ge\frac{7}{4}[/inlmath]

Sada opet kvadriramo obe strane, dobijamo:
[dispmath]4\left(6t^2+29t+9\right)=64t^2-224t+196[/dispmath]

Bilo bi mnogo jednostavnije za računanje da smo u jednačini [inlmath]2\sqrt{6t^2+29t+9}=8t-14[/inlmath] odmah skratili [inlmath]2[/inlmath] na levoj i desnoj strani i dobili [inlmath]\sqrt{6t^2+29t+9}=4t-7[/inlmath]. Nakon kvadriranja, svaki od sabiraka bi nam bio četiri puta manji nego ovako. A, samim tim, i manja mogućnost greške u računu.

Ne zameri na ovim sitnim primedbama. Sve ostalo je sasvim OK, a pogotovo to što si napisao i postupak provere rezultata, što uvek savetujem ljudima da učine kako bi bili sigurni u ispravnost rešenja.