MATEMANIJA

Ovo je zadatak iz niske zbirke. Probao sam da kvadriram ali ne znam da resim ono sto dobijem.
[dispmath]x+\sqrt{3+\sqrt x}=3[/dispmath] Svaki savet je dobrodosao.

Savet: Probaj da prebacis [inlmath]x[/inlmath] na drugu stranu pa tek onda kvadriraj,i ispisi uslove za obe strane....
I ja sam dobio [inlmath]x=1[/inlmath] jel tacno?

Kvadriraj, pa nam pokaži postupak. Da vidimo grešku ako je ima.
Potrebno je napisati i rešenje, to jest [inlmath]x=1[/inlmath].

Moj postupak
[dispmath]\left.\sqrt{3+\sqrt x}=3-x\quad\right/^2\\
3+\sqrt x=9-6x+x^2[/dispmath] i tu imam [inlmath]\sqrt x[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]x^2[/inlmath]

[inlmath]1[/inlmath] jeste resenje i to ocigledno, ali ne mogu da to dokazem

Prebaci trojku desno pa opet kvadriraj, ako neko nema bolju ideju,

Mozda recimo da uvedes smenu [inlmath]x=t^2[/inlmath].
Dobices jednacinu cetvrtog stepena u kojoj je lako pokazati da je jedno od resenja [inlmath]1[/inlmath].

I dalje se ne dobija kvadratna, bikvadratna ili nešto što znam da rešim.

[dispmath]t^4-6t^2-t+6=0[/dispmath] Da li si dobio ovo?

Ono što nije verovatno najjednostavnije rešenje, ali mi je to prvo palo na pamet, pa da napišem.
Posle prebacivanja [inlmath]x[/inlmath] na desnu stranu imamo [inlmath]\sqrt{3+\sqrt x}=x-3[/inlmath], dobijamo kao što smo videli [inlmath]3+\sqrt x=9-6x+x^2[/inlmath], svakako uz uslove da je [inlmath]x\ge0[/inlmath] tj. čak je ovde i [inlmath]x>0[/inlmath], jer nula nije rešenje. Ja sam dalje uveo smenu da je [inlmath]\sqrt x=t,\;t>0[/inlmath]. Pa imamo [inlmath]t^4-6t^2-t+6=0[/inlmath]. E sad jedna teorema koja kaže da ako imamo polinom ovakvog tipa, tj. čiji su koeficijenti celobrojni, tada ako je racionalan broj [inlmath]\frac p q[/inlmath] nula tog polinoma, onda je [inlmath]p[/inlmath] ceo broj koji deli slobodan član, a [inlmath]q[/inlmath] prirodan broj koji deli vodeći koeficijent.
Dakle imamo.
[inlmath]p=\{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6\}[/inlmath] a [inlmath]q[/inlmath] je samo [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, kako je smena [inlmath]t[/inlmath] pozitivan broj, nema potrebe isprobavati kombinacije [inlmath]\frac p q[/inlmath] koje su negativne, odnosno samo one pozitivne zameniti u jednačinu i proveriti da li je nula zadatog polinoma. Dobije se da je rešenje samo [inlmath]1[/inlmath]. Kažem, nije ovo najbolje rešenje, jer je problem kada se ima dosta ovih kombinacija. Ali nije na odmet nekad i ovu teoremu iskoristiti.

Da