MATEMANIJA

Ovo je zadatak iz niske zbirke. Probao sam da kvadriram ali ne znam da resim ono sto dobijem.
[dispmath]x+\sqrt{3+\sqrt x}=3[/dispmath] Svaki savet je dobrodosao.

Savet: Probaj da prebacis [inlmath]x[/inlmath] na drugu stranu pa tek onda kvadriraj,i ispisi uslove za obe strane....
I ja sam dobio [inlmath]x=1[/inlmath] jel tacno?

Kvadriraj, pa nam pokaži postupak. Da vidimo grešku ako je ima.
Potrebno je napisati i rešenje, to jest [inlmath]x=1[/inlmath].

Moj postupak
[dispmath]\left.\sqrt{3+\sqrt x}=3-x\quad\right/^2\\
3+\sqrt x=9-6x+x^2[/dispmath] i tu imam [inlmath]\sqrt x[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]x^2[/inlmath]

[inlmath]1[/inlmath] jeste resenje i to ocigledno, ali ne mogu da to dokazem

Prebaci trojku desno pa opet kvadriraj, ako neko nema bolju ideju,

Mozda recimo da uvedes smenu [inlmath]x=t^2[/inlmath].
Dobices jednacinu cetvrtog stepena u kojoj je lako pokazati da je jedno od resenja [inlmath]1[/inlmath].

I dalje se ne dobija kvadratna, bikvadratna ili nešto što znam da rešim.

[dispmath]t^4-6t^2-t+6=0[/dispmath] Da li si dobio ovo?

Ono što nije verovatno najjednostavnije rešenje, ali mi je to prvo palo na pamet, pa da napišem.
Posle prebacivanja [inlmath]x[/inlmath] na desnu stranu imamo [inlmath]\sqrt{3+\sqrt x}=x-3[/inlmath], dobijamo kao što smo videli [inlmath]3+\sqrt x=9-6x+x^2[/inlmath], svakako uz uslove da je [inlmath]x\ge0[/inlmath] tj. čak je ovde i [inlmath]x>0[/inlmath], jer nula nije rešenje. Ja sam dalje uveo smenu da je [inlmath]\sqrt x=t,\;t>0[/inlmath]. Pa imamo [inlmath]t^4-6t^2-t+6=0[/inlmath]. E sad jedna teorema koja kaže da ako imamo polinom ovakvog tipa, tj. čiji su koeficijenti celobrojni, tada ako je racionalan broj [inlmath]\frac p q[/inlmath] nula tog polinoma, onda je [inlmath]p[/inlmath] ceo broj koji deli slobodan član, a [inlmath]q[/inlmath] prirodan broj koji deli vodeći koeficijent.
Dakle imamo.
[inlmath]p=\{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6\}[/inlmath] a [inlmath]q[/inlmath] je samo [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, kako je smena [inlmath]t[/inlmath] pozitivan broj, nema potrebe isprobavati kombinacije [inlmath]\frac p q[/inlmath] koje su negativne, odnosno samo one pozitivne zameniti u jednačinu i proveriti da li je nula zadatog polinoma. Dobije se da je rešenje samo [inlmath]1[/inlmath]. Kažem, nije ovo najbolje rešenje, jer je problem kada se ima dosta ovih kombinacija. Ali nije na odmet nekad i ovu teoremu iskoristiti.

Da

[dispmath]\eqalign{
& t^4-6t^2-t+6=0\cr
& t\left(t^3-1\right)-6\left(t^2-1\right)=0\cr}[/dispmath] Ja bih ipak ovako

Za ovu teoremu prvi put cujem, ali je svakako zanimljivo. Samo da potvrdim [inlmath]p[/inlmath] si odredio tako sto si trazio brojeve koji bez ostatka dele koeficijente [inlmath]1,-6,-1,+6[/inlmath]?

Ne, [inlmath]p[/inlmath] tražiš kao cele brojeve sa kojima je deljiv slobodan član, tj. koji uza sebe nema promenljivu, ovde je to broj [inlmath]6[/inlmath].

Ta teorema je svakako od koristi onda kad imamo celobrojna rešenja, međutim, mi kod ove jednačine ne možemo znati jesu li sva rešenja celobrojna.

Zato bih pokazao jedan drugi način (ne tvrdim da je i najbolji mogući) kojim se može dokazati da je [inlmath]x=1[/inlmath] jedino rešenje.

Pošto smo pre kvadriranja obe strane u koraku [inlmath]\sqrt{3+\sqrt x}=3-x[/inlmath] postavili uslov da je [inlmath]x\le3[/inlmath], a zbog postojanja [inlmath]\sqrt x[/inlmath] mora važiti i [inlmath]x\ge0[/inlmath], sledi da je [inlmath]0\le x\le3[/inlmath]. Zbog toga, nakon uvođenja smene [inlmath]\sqrt x=t[/inlmath], mora važiti [inlmath]0\le t\le\sqrt3[/inlmath].
Dolazimo do jednačine [inlmath]t^4-6t^2-t+6=0[/inlmath], kako je već pokazano. Jedno rešenje te jednačine „napipavamo“, to je [inlmath]t=1[/inlmath]. Deljenjem polinoma [inlmath]t^4-6t^2-t+6=0[/inlmath] polinomom [inlmath]t-1[/inlmath] dobijamo polinom [inlmath]t^3+t^2-5t-6[/inlmath]. Nule tog polinoma takođe će, pored [inlmath]t=1[/inlmath], biti rešenja naše jednačine, ukoliko se nalaze unutar intervala u kojem se [inlmath]t[/inlmath], po prethodno postavljenom uslovu, nalazi, a to je interval [inlmath]\Bigl[0,\sqrt3\Bigr][/inlmath]. Pokažimo da taj polinom nema realne nule na tom intervalu, a samim tim i da je [inlmath]t=1[/inlmath], tj. [inlmath]x=1[/inlmath], jedino rešenje naše jednačine.

Obeležimo taj polinom sa [inlmath]P(t)[/inlmath] i ispitajmo koji znak imaju njegove vrednosti na granicama posmatranog intervala:
[dispmath]P(0)=-6<0\\
P\left(\sqrt3\right)=3\sqrt3+3-5\sqrt3-6=-3-2\sqrt3<0[/dispmath] Sada ispitajmo da li ova polinomna funkcija na tom intervalu ima ekstremne vrednosti:
[dispmath]P(t)=0\\
3t^2+2t-5=0\\
t_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{6}\\
t_1=-\frac{5}{3},\;t_2=1[/dispmath] Rešenje [inlmath]t_1=-\frac{5}{3}[/inlmath] nas ne zanima, jer se ono ne nalazi unutar posmatranog intervala [inlmath]\Bigl[0,\sqrt3\Bigr][/inlmath]. Posmatramo samo rešenje [inlmath]t_2=1[/inlmath]. Može se pokazati da ta ekstremna vrednost predstavlja minimum, budući da je drugi izvod, [inlmath]P''(t)=6t+2[/inlmath], u toj tački pozitivan: [inlmath]P''(1)=8[/inlmath].

Zaključujemo: pošto [inlmath]P(t)[/inlmath] na obe granice intervala ima negativnu vrednost, a na tom intervalu nema lokalni maksimum, samim tim nema načina da on preseca apscisu, prema tome, ne može imati nule na tom intervalu.