MATEMANIJA

Evo prvog post-a i od mene. Inace, sve pohvale za forum, bas je od pomoci.

Dakle, zadatak glasi:

Najmanje resenje nejednacine
[dispmath]\frac{x^2+x}{x^2-4}<0[/dispmath]
je?

E sad, moj postupak i nacin razmisljanja:

Za pocetak sam definisao uslove - [inlmath]x\ne-2,\;x\ne-1,\;x\ne0,\;x\ne2[/inlmath]

Da bi kolicnik bio negativan ili delilac ili deljenik moraju biti negativni. [inlmath]x^2+x[/inlmath] ne moze biti negativno osim ako [inlmath]x[/inlmath] nije negativan razlomak, [inlmath](-1<x<0)[/inlmath] a u tom slucaju delilac ce takodje biti negativan - dakle rezultat je pozitivan. Deljenik je pozitivan dokle god je [inlmath]x>0[/inlmath], i za nalazenje negativnog delioca koristim
[dispmath]x^2-4<0[/dispmath][dispmath]x^2<4[/dispmath][dispmath]-2<x<2[/dispmath]
E sad, gledajuci uslove, jedini takav broj koju mogu da iskoristim je [inlmath]1[/inlmath]. I kada ubacim [inlmath]1[/inlmath] u nejednacinu dobijem:
[dispmath]\frac{1^2+1}{1^2-4}<0[/dispmath][dispmath]-\frac{2}{3}<0[/dispmath]
Dakle, [inlmath]1[/inlmath] koliko vidim moze da bude resenje. E sad, ovo je zadatak sa matf prijemnog iz 2006. a rezultat zadatka je po kljucu je da najmanje resenje ne postoji. Moze li neko da mi obrazlozi ovo? Ono sto meni pada na pamet je da sam negde napravio gresku, da su oni napravili gresku ili da to sto je [inlmath]1[/inlmath] jedino resenje zapravo razlog zasto ne postoji najmanje resenje (sto nema bas logike po mom misljenju jer je to onda ujedno i najmanje i najvece resenje xD ).

Nadam se da sam bio dovoljno koncizan i da nisam obrazlozenje ovog zadatka propustio negde u dubinama foruma,

Tačno je da najmanje rešenje ne postoji. U zadatku se nije tražilo najmanje celobrojno rešenje, već najmanje rešenje. To je bitna razlika.

Ti si našao interval [inlmath]-2<x<2[/inlmath]. Od tog intervala treba izuzeti onaj interval u kojem je brojilac negativan, a to je [inlmath]-1<x<0[/inlmath]. Prema tome, kao rešenje nam ostaje [inlmath]-2<x<-1\;\lor\;0<x<2[/inlmath].

Možemo uočiti da, zbog znaka stroge nejednakosti, [inlmath]-2[/inlmath] kao donja granica otvorenog intervala, ne može biti rešenje. I, kako ćeš onda odrediti koje rešenje je najmanje? Ako mi ponudiš rešenje [inlmath]x=-1,9[/inlmath], ja ću ti reći da postoji još manje rešenje, npr. [inlmath]x=-1,95[/inlmath]. Ako mi ponudiš rešenje [inlmath]x=-1,99[/inlmath], ja ću ti reći da postoji još manje rešenje, npr. [inlmath]x=-1,995[/inlmath]. I tako u nedogled...

Prema tome, najmanje rešenje ove nejednačine ne postoji.

Znao sam da sam propustio nešto...
Hvala na odgovoru