MATEMANIJA

Ako je [inlmath]\alpha=\log_{12}\left(18\right)[/inlmath] i [inlmath]\beta=\log_{24}\left(54\right)[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha\beta+5(\alpha-\beta)=1[/inlmath] dokazati.
Ja sam ovo radio s svođenjem na bazu [inlmath]3[/inlmath] malo se zakomplikuje ali siguran sam da postoji neki jednostavniji način. Kako bise vi ovo radili? Mislim na koju foru?

Ne znam na koji način si ti radio (trebalo je to da pokažeš), al' ne vidim neki mnogo jednostavniji način nego da se [inlmath]\alpha[/inlmath] napiše kao [inlmath]\frac{\log18}{\log12}[/inlmath], a [inlmath]\beta[/inlmath] kao [inlmath]\frac{\log54}{\log24}[/inlmath] i da se zatim svi ti logaritmi rasture na „sitne“ logaritme [inlmath]\log2[/inlmath] i [inlmath]\log3[/inlmath]. Na primer,
[dispmath]\alpha=\frac{\log18}{\log12}=\frac{\log2+2\log3}{2\log2+\log3}[/dispmath]
slično i za [inlmath]\beta[/inlmath].

I onda se sve to uvrsti u [inlmath]\alpha\beta+5\left(\alpha-\beta\right)[/inlmath], sredi i dobije se isti izraz u brojiocu i imeniocu, što daje [inlmath]1[/inlmath]...

Bio sam ubjeđen da ima neko jednostavnije rješenje ali kako stvari stoje nema. Zadatak mi je nekako podugačak. Dok su ovi ostali pretežno po pola lista Kao što rekoh sve na bazu [inlmath]3[/inlmath] i uzmemo smjenu [inlmath]t=\log_32[/inlmath]. Jer lakše je pisati deset puta [inlmath]t[/inlmath] nego dest puta [inlmath]\log_32[/inlmath]. Možda je čak ovo i jednostavnije od tvoga načina.
[inlmath]\alpha=\frac{2+t}{1+2t}[/inlmath] i [inlmath]\beta=\frac{3+t}{1+3t}[/inlmath]

Jeste, jednostavnije je tako.
Isto tako može i svođenje na bazu [inlmath]2[/inlmath], uz smenu [inlmath]t=\log_23[/inlmath]. Potpuno svejedno.