MATEMANIJA

Riješiti nejednačine:
(a) [dispmath]24x^2-6x-3\le 0,[/dispmath]
(b) [dispmath]\frac{x^2-4x}{-x^2-3x+28}<0,[/dispmath]
(c) [dispmath]\frac{3x^2-1}{2x^2+x-1}<1.[/dispmath]

[dispmath]3(8x^2-2x-1)\le 0[/dispmath]
[dispmath]3(2x-1)(4x+1)\le 0[/dispmath]
Odavde znamo da [inlmath]2x-1[/inlmath] i [inlmath]4x+1[/inlmath] treba da budu suprotnog znaka, odnosno razilikujemo opciije:
1) [inlmath]2x-1\ge 0,\;4x+1\le 0[/inlmath]
2) [inlmath]2x-1\le 0,\;4x+1\ge 0[/inlmath]

Odnosno:
1) [inlmath]x\ge\frac{1}{2},\;x\le -\frac{1}{4}[/inlmath]- presek je prazan skup
2) [inlmath]x\le\frac{1}{2},\;x\ge -\frac{1}{4}[/inlmath]- daje rešenje.
Dakle:
[dispmath]x\in\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right][/dispmath]
b)
[dispmath]\frac{x^2-4x}{x^2+3x-28}>0[/dispmath]
[dispmath]\frac{x(x-4)}{(x+7)(x-4)}>0[/dispmath]
Za [inlmath]x[/inlmath] različito od [inlmath]4[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x}{x+7}>0[/dispmath]
Odatle na kraju dobijamo sledeći skup rešenja:
[dispmath]x\in\left(-\infty,-7\right)\cup\left(0,4\right)\cup\left(4,+\infty\right)[/dispmath]
c)
[dispmath]\frac{3x^2-1}{2x^2+x-1}<1.[/dispmath]
[dispmath]\frac{3x^2-1}{2x^2+x-1}-1<0[/dispmath]
[dispmath]\frac{3x^2-1-2x^2-x+1}{2x^2+x-1}<0[/dispmath]
[dispmath]\frac{x^2-x}{2x^2+x-1}<0[/dispmath]
[dispmath]\frac{x(x-1)}{(2x-1)(x+1)}<0[/dispmath]
Rešenje su brojevi koji pripadaju intervalima:
[inlmath]-1<x<0[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}<x<1[/inlmath]

Odavde znamo da [inlmath]2x-1[/inlmath] i [inlmath]4x+1[/inlmath] treba da budu suprotnog znaka, odnosno razilikujemo opciije:
1) [inlmath]2x-1\ge 0,\;4x+1\le 0[/inlmath]
2) [inlmath]2x-1\le 0,\;4x+1\ge 0[/inlmath]

Ako moze samo ovo pojasnjenje malo jednostavnije..

Za [inlmath]x[/inlmath] različito od [inlmath]4[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x}{x+7}>0[/dispmath]
Odatle na kraju dobijamo sledeći skup rešenja:
[dispmath]x\in\left(-\infty,-7\right)\cup\left(0,4\right)\cup\left(4,+\infty\right)[/dispmath]

I pojasnjenje ovog, kako onda za [inlmath]x[/inlmath] različito od [inlmath]7[/inlmath]? Treba li to, moze li kako bez tog razlicito od [inlmath]4[/inlmath] da se dobije rjesenje?

[inlmath]-1<x<0[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}<x<1[/inlmath]

Hehe i ovog. naravno jasna mi je izrada zadatka, zato to nisam citirala, jedino odredjivanja ovih rjesenja su mi proble, jer ja to radim preko tabele one [inlmath]+,-[/inlmath] i onda predstavim na osi i odredim rjesenja.
HVALA

indira-aa je napisao:

Odavde znamo da [inlmath]2x-1[/inlmath] i [inlmath]4x+1[/inlmath] treba da budu suprotnog znaka, odnosno razilikujemo opciije:
1) [inlmath]2x-1\ge 0,\;4x+1\le 0[/inlmath]
2) [inlmath]2x-1\le 0,\;4x+1\ge 0[/inlmath]

Ako moze samo ovo pojasnjenje malo jednostavnije..

Ako je proizvod dva realna broja negativan, to znači da jedan od ta dva broja mora biti pozitivan, a drugi negativan. Logično?
Znači, ako je [inlmath]x\cdot y<0[/inlmath], to znači da je ili [inlmath]x[/inlmath] pozitivan a [inlmath]y[/inlmath] negativan, ili [inlmath]x[/inlmath] negativan a [inlmath]y[/inlmath] pozitivan.
Ili, matematičkim jezikom rečeno:
[dispmath]x\cdot y<0\quad\Rightarrow\quad\left(x>0\;\land\; y<0\right)\;\lor\;\left(x<0\;\land\; y>0\right)[/dispmath]
E, pošto smo u konkretnom slučaju imali da je
[dispmath]3\left(2x-1\right)\left(4x+1\right)\le 0[/dispmath]
trojku zanemarujemo, jer je to pozitivna konstanta pa ne utiče na nejednakost, tako da razmatramo
[dispmath]\left(2x-1\right)\left(4x+1\right)\le 0[/dispmath]
s tim, da sad ovde imamo znak manje ili jednako, pa moramo razmatrati i moguću jednakost:
[dispmath]\left(2x-1\right)\cdot\left(4x+1\right)\le 0\quad\Rightarrow\quad\left(2x-1\ge 0\;\land\; 4x+1\le 0\right)\;\lor\;\left(2x-1\le 0\;\land\; 4x+1\ge 0\right)[/dispmath]

indira-aa je napisao:

Za [inlmath]x[/inlmath] različito od [inlmath]4[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x}{x+7}>0[/dispmath]
Odatle na kraju dobijamo sledeći skup rešenja:
[dispmath]x\in\left(-\infty,-7\right)\cup\left(0,4\right)\cup\left(4,+\infty\right)[/dispmath]

I pojasnjenje ovog, kako onda za [inlmath]x[/inlmath] različito od [inlmath]7[/inlmath]? Treba li to, moze li kako bez tog razlicito od [inlmath]4[/inlmath] da se dobije rjesenje?

Pošto smo skraćivali faktor [inlmath]\left(x-4\right)[/inlmath], morali smo navesti uslov da je [inlmath]x\ne 4[/inlmath], jer, da je [inlmath]x=4[/inlmath], time bismo vršili skraćivanje nule nulom, što nije dozvoljeno. I ako u početni izraz u tom zadatku pod b) uvrstiš [inlmath]4[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath], vrednost tog izraza će biti [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath], a to, naravno, nije definisano. Prema tome, zadati izraz nije definisan za [inlmath]x=4[/inlmath].

indira-aa je napisao:

[inlmath]-1<x<0[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}<x<1[/inlmath]

Hehe i ovog. naravno jasna mi je izrada zadatka, zato to nisam citirala, jedino odredjivanja ovih rjesenja su mi proble, jer ja to radim preko tabele one [inlmath]+,-[/inlmath] i onda predstavim na osi i odredim rjesenja.
HVALA

Da, preko tabele i jeste najlakše raditi. Pošto imamo izraz
[dispmath]\frac{x\left(x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}<0[/dispmath]
prvo izvučemo [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{2}\cdot\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)}<0[/dispmath]
a pošto [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], kao pozitivna konstanta, ne utiče na znak nejednakosti, nju izostavimo:
[dispmath]\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)}<0[/dispmath]
i izraz s leve strane znaka nejednakosti, budući da se sastoji od četiri faktora, biće negativan onda kada je neparan broj tih faktora negativan, a preostali faktori (čiji je broj tada takođe neparan) su pozitivni. Znači, neparan broj negativnih faktora, neparan broj pozitivnih faktora. U tabelu uneseš karakteristične vrednosti [inlmath]\left(-1,0,\frac{1}{2},1\right)[/inlmath] i posmatraš za koje intervale će biti ispunjeno da imamo neparan broj negativnih i neparan broj pozitivnih faktora.

Eh ovako za prvu nejednacinu ja sam preko tabele uradila i dobila to rjesenje.za drugu isto tako, i dobilaa samo sto ne znam da li je [inlmath]0[/inlmath] ukljucena, ja mislim da jeste??

i za trecu dobila sam rjesenje [dispmath]x\in(-1,0]\cup\left(\frac{1}{2},1\right].[/dispmath]
I ako moze samo pojasnjenje rastava kvadratnog trinoma [inlmath]2x^2+x+1=x(2x+1)+1=(2x-1)(x+1)[/inlmath]..znam da tako treba ici rjesenje,ali ne znam odkud minus u predzadnjoj zagradi,mislim da mora ici tako.

Nije uključena nula u drugom, radi se o strogoj nejednakosti... Uostalom proveri:
[inlmath]\frac{0}{0+7} = 0[/inlmath] što nije veće od nula.

Rešenje trećeg ti ne valja, obrati pažnju na to da radiš sa strogom nejednakošcu, zašto uključuješ granične tačke intervala?

Što se trinoma tiče, izmnoži ta dva člana i uporedi sa polaznim oblikom- ispada da nisu isti, dakle tu nema govora o jednakosti.

Rešenje trećeg ti ne valja, obrati pažnju na to da radiš sa strogom nejednakošcu, zašto uključuješ granične tačke intervala?

Aha, znaci samo da ne ukljucujem ove vrijednosti, da li je onda ok?

Što se trinoma tiče, izmnoži ta dva člana i uporedi sa polaznim oblikom- ispada da nisu isti, dakle tu nema govora o jednakosti.

ajoj i mene haha mislila sam [inlmath]-1[/inlmath], ne [inlmath]+1[/inlmath]..greska sry..[dispmath]2x^2+x-1[/dispmath] kako si ti to onda rastavio, to mene zanima?

Da, jeste, napisao sam ti već to rešenje.

A za rastavljanje:
[dispmath]2x^2+x-1=x^2+x^2+x-1=x^2-1+x^2+x=[/dispmath]
[dispmath]=(x-1)(x+1)+x(x+1)=(x+1)(x-1+x)=(2x-1)(x+1)[/dispmath]

[dispmath]2x^2+x-1=x^2+x^2+x-1=x^2-1+x^2+x=[/dispmath]
[dispmath]=(x-1)(x+1)+x(x+1)=(x+1)(x-1+x)=(2x-1)(x+1)[/dispmath]

Kako na ovaj način da rastavim [dispmath]24x^2-6x-3[/dispmath]????
Ja sam to napisala kao [dispmath]6x(4x-1)-3=(4x+1)(6x-3)[/dispmath],ali mislim da ne valja postupak.

[dispmath]3\left(8x^2-2x-1\right)=3\left(4x^2+4x^2-2x-1\right)=3\left(4x^2-1+4x^2-2x\right)=[/dispmath]
[dispmath]=3((2x-1)(2x+1)+2x(2x-1))=3(2x-1)(2x+1+2x)=3(2x-1)(4x+1)[/dispmath]
Mada ima i drugih načina, recimo, rešiš kvadratnu jednačinu [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath], i dobiješ rešenja [inlmath]x_1,x_2[/inlmath], pa je onda rastavljen oblik [inlmath]a(x-x_1)(x-x_2)[/inlmath].