MATEMANIJA

U zavisnosti od parametra [inlmath]m[/inlmath] odrediti prirodu rješenja kvadratne jednačine [dispmath]mx^2-(m+2)x+5=0[/dispmath]

Diskriminanta je [inlmath](m+2)^2-20m[/inlmath], odnosno [inlmath]m^2-16m+4[/inlmath].
Ako je ovaj izraz pozitivan- onda su rešenja realna.
Ako je jednaka nuli, rešenje je jedinstveno (tj. kvadratna i dalje ima dva rešenja, samo što su ista).
Za negativne vrednosti ovog izraza kvadratna jednačina nema realnih korena.

Eeeeh sad, ja sam pokušala i ovaj zadatak uraditi.dobila sam [dispmath]D=m^2-16m+4.[/dispmath]To je ok, e sad sta dalje, ja sam stavila prvi slučaj kad je [inlmath]D>0[/inlmath] i rješenje [inlmath]D[/inlmath], uvrstila u [dispmath]m_{1,2}[/dispmath], naravno dobila sam besmislen rezultat, pa sam stala i nisam dalje radila, jer predpostavljam da ce tako biti i za [inlmath]D=0[/inlmath], i [inlmath]D<0[/inlmath]..pa onda zaključujem da se tako ne radi bas:)

Sve ti je Milovan lepo napisao – samo treba čitati.
– Kada je [inlmath]m^2-16m+4>0[/inlmath] rešenja su realna – rešiš kvadratnu nejednačinu i nađeš za koje [inlmath]m[/inlmath] je ovo zadovoljeno.
– Kada je [inlmath]m^2-16m+4=0[/inlmath] postoji jedno realno rešenje – rešiš kvadratnu jednačinu i nađeš za koje [inlmath]m[/inlmath] je ovo zadovoljeno.
– Kada je [inlmath]m^2-16m+4<0[/inlmath] rešenja su konjugovano kompleksna – rešiš kvadratnu nejednačinu i nađeš za koje [inlmath]m[/inlmath] je ovo zadovoljeno.

indira-aa je napisao:ja sam stavila prvi slučaj kad je [inlmath]D>0[/inlmath] i rješenje [inlmath]D[/inlmath], uvrstila u [dispmath]m_{1,2}[/dispmath]

Ovu rečenicu nisam uspeo da razumem.

Milovan je napisao:Diskriminanta je [inlmath](m+2)^2-20 m[/inlmath], odnosno [inlmath]m^2-16 m+4[/inlmath]

Uradila sam ja [inlmath]D[/inlmath],i stavila da je [dispmath]m^2-16m+4>0[/dispmath] i pokusala to rijesiti pomocu kvadratne jednacine,ali nikako ne dobijem fin rezultat,nista ni sa cim,pokusala sam i da rastavim kao [inlmath]m(m-16)+4>0[/inlmath]..ali ni tako ne ide, pa bar da znam za taj slucaj,za ostale bi ja sama

Ne dobijaš "fin" rezultat jer on i nije "fin". Zašto bi morao biti?

Kada to izjednačiš sa nulom:

[inlmath]m^2-16m+64-60=(m-8)^2-60=\left(m-8-\sqrt{60}\right)\left(m-8+\sqrt{60}\right)=0[/inlmath], dobijaš ne tako elegantna rešenja, ali to ne menja situaciju...
Ponašaš se kao da su nule te funkcije neki brojevi tipa [inlmath]2,3,4[/inlmath].

Ja sam dobila da je [dispmath]m_1=\frac{16+2\sqrt{15}}{2}[/dispmath] i [dispmath]m_2=\frac{16-2\sqrt{15}}{2}[/dispmath]

U brojiocima pred korenom treba da se nalazi četvorka, a ne dvojka.
I zatim, naravno, skratiš razlomke.

Daniel je napisao:U brojiocima pred korenom treba da se nalazi četvorka, a ne dvojka.
I zatim, naravno, skratiš razlomke.

Ajooj [inlmath]4[/inlmath] da da, [dispmath]\sqrt{16}[/dispmath]je [inlmath]4[/inlmath]..kad rastavim [dispmath]\sqrt{250}[/dispmath] na [dispmath]\sqrt{16}\sqrt{15}[/dispmath] i kad skratim dobijem [dispmath]8\pm 4\sqrt{15}.[/dispmath]
Koje je rjesenje onda prihvatljivo?Oba?

I onda to tako uradim i za [inlmath]D=0[/inlmath] i [inlmath]D<0[/inlmath]..i diskutujem rjesenja,jel tako?

Ne [inlmath]\sqrt{250}[/inlmath]... već [inlmath]\sqrt{240}[/inlmath]. OK, sigurno greška pri kucanju.
I kad skratiš s dvojkom brojilac i imenilac, treba da ti ostane [inlmath]8\pm 2\sqrt{15}[/inlmath], a ne [inlmath]8\pm 4\sqrt{15}[/inlmath].
I dalje rešavaš kao što i inače rešavaš bilo koju kvadratnu nejednačinu. Pošto je koeficijent uz kvadratni član jednak [inlmath]1[/inlmath], dakle pozitivan je, funkcija će imati pozitivne vednosti (a to je ono što se traži) izvan intervala ograničenog njenim nulama. Dakle,
[dispmath]m\in\left(-\infty,8-2\sqrt{15}\right)\cup\left(8+2\sqrt{15},+\infty\right)[/dispmath]
Pri rešavanju [inlmath]D=0[/inlmath] kao rešenja uzimaš [inlmath]m_1[/inlmath] i [inlmath]m_2[/inlmath], a pri rešavanju [inlmath]D<0[/inlmath] kao rešenja uzimaš interval između [inlmath]m_1[/inlmath] i [inlmath]m_2[/inlmath].

Da li je ovako ispravno:

znaci rjesenja kvadratne jednacine za [inlmath]D<0[/inlmath] ,[inlmath]D>0[/inlmath] i [inlmath]D=0[/inlmath] su ista..

eh sad
za [dispmath]m\in\left(-\infty,8-2\sqrt{2}\right)\cup\left(8+2\sqrt{2},+\infty\right)[/dispmath]jednačina ima 2 različita realna rješenja.
za [dispmath]m=8+2\sqrt{2}[/dispmath]i[dispmath]m=8-2\sqrt{2}[/dispmath]jednačina ima 1 realno rješenje.
za[dispmath]m\in\left(8+2\sqrt{15},8-2\sqrt{15}\right)[/dispmath]jednačina nema realnih rješenja,tj.jednačina ima konjugovano-kompleksna rješenja.

P.S.i ako moze da rastavite ovaj kvadratni trinom,ja sam pokusavala a nikako ne mogu,bila bi vam zahvalna.
[dispmath]m^2-16m+4[/dispmath]

Svuda gde ti je [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] u prethodnom postu treba da stoji [inlmath]\sqrt{15}[/inlmath].

Tada će biti ok, s napomenom da jednačina u slučaju [inlmath]D=0[/inlmath] nema jedno rešenje, već jedno dvostruko rešenje, pošto je broj rešenja jednačine uvek jednak najvišem stepenu, odnosno- kvadratna uvek ima dva rešenja, s tim što su nekad (za [inlmath]D=0[/inlmath]) jednaka.

Taj izraz sam rastavljao u jednom od prethodnih postova:
[dispmath]m^2-16m+64-60=(m-8)^2-60=\left(m-8-\sqrt{60}\right)\left(m-8+\sqrt{60}\right)[/dispmath]

Milovan je napisao:Svuda gde ti je [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] u prethodnom postu treba da stoji [inlmath]\sqrt{15}[/inlmath].

Haha u trecem slucaju kod mene [inlmath]15[/inlmath], a u prethodna dva [inlmath]2[/inlmath].ahaha greska, bas sam brzopleta.

Milovan je napisao:Tada će biti ok, s napomenom da jednačina u slučaju [inlmath]D=0[/inlmath] nema jedno rešenje, već jedno dvostruko rešenje, pošto je broj rešenja jednačine uvek jednak najvišem stepenu, odnosno- kvadratna uvek ima dva rešenja, s tim što su nekad (za [inlmath]D=0[/inlmath]) jednaka.

znači [inlmath]m_1[/inlmath] i [inlmath]m_2[/inlmath].
hvala ti punoo

Milovan je napisao:jednačina u slučaju [inlmath]D=0[/inlmath] nema jedno rešenje, već jedno dvostruko rešenje, pošto je broj rešenja jednačine uvek jednak najvišem stepenu, odnosno- kvadratna uvek ima dva rešenja, s tim što su nekad (za [inlmath]D=0[/inlmath]) jednaka.

Ovo bi već mogao biti predmet jedne zanimljive matematičke diskusije, ali mislim da nije nikakva greška ni ako se kaže da za [inlmath]D=0[/inlmath] kvadratna jednačina ima jedno realno rešenje.

Naravno, nije nikakva greška, samo mala formalnost na kojoj ja volim da insistiram- jednačina [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena uvek ima [inlmath]n[/inlmath] rešenja.