MATEMANIJA

Ćao! Gledao sam na ovoj veb stranici, http://www.elemenat.com/lat/kubnajed.php, kako se dolazi do rešenja kubne jedančine i sledeća stvar me zbunjuje:

Imamo jednačinu [inlmath]ax^3+bx^2+cx+d=0[/inlmath], pa onda uvodimo 1. smenu [inlmath]x=y-\frac{b}{3a}[/inlmath], i na osnovu toga se dobija onaj oblik [inlmath]y^3+py+q=0[/inlmath], gde su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] dati onim izrazima preko [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath]. To mi je jasno kako se do toga dolazi (što se tiče smene, ne bih još i to da potežem , ne treba mi). Zatim se uvodi 2. smena [inlmath]y=u+v[/inlmath], pa se na osnovu nje dobije jednakost [inlmath]u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0[/inlmath]. Sada na toj stranici, čiji sam link postavio, piše da se može uvesti dodatni uslov (znači "može", pa mi zvuči kao vrlo opcionalno, ali mi se čini da mora da ga bude), [inlmath]3uv+p=0[/inlmath]. Sada me interesuje da li se taj uslov mora uvesti, kako bi eliminisali [inlmath]u+v=y[/inlmath], ili važi nešto drugo, dok je moje objašnjenje ipak isuviše naivno?

Prvo bih ti skrenuo pažnju na tačku 29. Pravilnika. OK za ovo sada, nego radi budućih postova.

Sama smena [inlmath]y=u+v[/inlmath] ne daje nikakve posebne uslove po pitanju međusobne zavisnosti [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath], osim da njihov zbir mora biti [inlmath]y[/inlmath]. To znači, može biti npr. [inlmath]u:v=1:2[/inlmath] (što znači da je [inlmath]u=\frac{1}{3}y[/inlmath] i [inlmath]v=\frac{2}{3}y[/inlmath]), isto tako može biti [inlmath]u:v=7:4[/inlmath] (što znači da je [inlmath]u=\frac{7}{11}y[/inlmath] i [inlmath]v=\frac{4}{11}y[/inlmath]), ili [inlmath]u\cdot v=5[/inlmath], ili [inlmath]u\cdot v=2[/inlmath] itd. itd...

E, taj stepen slobode omogućava nam da dodatno postavimo još i uslov međusobne zavisnosti [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath].

Ovde izabiramo [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath] takve da, osim [inlmath]u+v=y[/inlmath], zadovoljavaju još i [inlmath]3uv+p=0[/inlmath], kako bismo se oslobodili onog najkomplikovanijeg sabirka, koji se sastoji od dva izraza u zagradama.

Naravno da bi sve jednakosti bile zadovoljene i da smo, umesto [inlmath]3uv+p=0[/inlmath], odabrali i drugačije promenljive [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath], npr. [inlmath]uv=3[/inlmath], ali tada se ne bismo oslobodili tog „problematičnog“ sabirka i sama smena ne bi imala svrhe, jer ništa njome ne bismo postigli.

Hvala što si mi ukazao na pravilo foruma. Izvinjavam se zbog neznanja (mislim da sam jednom pročitao sva pravila, ali ih nisam zapamtio). Biću pažljiviji sledeći put.

Znači kada se uvede smena [inlmath]y=u+v[/inlmath], to sledi da će na kraju [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath] morati da ispune uslov [inlmath]3uv+p=0[/inlmath], kako bi smena imala smisla. Ne ide mi ovo toliko loše.

Pa, tako nekako. Čisto da malo preciziram, da se neko ne bi zbunio – dakle, iz smene [inlmath]y=u+v[/inlmath] ne sledi sâm po sebi uslov [inlmath]3uv+p=0[/inlmath], već taj uslov postavljamo kako bismo pojednostavili dobijeni izraz i uprostili dalji postupak.

P.S. Nazive promenljivih je, umesto u italic-tagove, bolje da stavljaš unutar InlineMath-tagova. InlineMath-tagovi će takođe da ih iskose, kao i italic, ali će ih i boldovati, kao i sve ostale izraze napisane u Latexu. Pošto na forumu držimo do preglednosti, bio sam slobodan da ti to korigujem.

Odlično! Hvala!