MATEMANIJA

Napisati jednačinu čija su rješenja [dispmath]x_1+x_2,\;x_1+x_3,\;x_2+x_3,[/dispmath] gdje su [dispmath]x_1,x_2,x_3[/dispmath]rješenja jednačine [dispmath]-3x^3+x^2-3x+2=0.[/dispmath]

Prvo treba da resis kubnu jednacinu i kad dobijes tri resenja [inlmath]x_1;x_2;x_3[/inlmath]
onda koristeci ovo sto si napisala
[dispmath]x_1+x_2,\;x_1+x_3,\;x_2+x_3,[/dispmath]
dobijes tri resenja kubne jednacine ciji oblik treba da napises, pa zatim pomocu Vietovih formula polinoma viseg reda napises konacan oblik nove kubne jednacine. Nije tesko, ali ako opet nije jasno - onda da hvatam zalet pa da resavam postupno



P.s. Prilikom resavanja te kubne jednacine dobija se da je [inlmath]D>0[/inlmath]
sto znaci da je jedno resenje jednacine realno, a dva resenja konjugovano-kompleksna.
Uglavnom na kraju treba da se dobije ova jednacina
[dispmath]9x^3-6x^2+10x+3=0[/dispmath]

Evo načina za koji nije potrebno rešavanje kubne jednačine.

Jednačina čija su rešenja [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath] je oblika
[dispmath]a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)=0[/dispmath]
što, kad se izmnoži i sredi, bude
[dispmath]ax^3-a\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+a\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)x-ax_1x_2x_3=0[/dispmath]
pa kad odgovarajuće koeficijente izjednačimo s odgovarajućim koeficijentima u zadatoj jednačini [inlmath]-3x^3+x^2-3x+2=0[/inlmath], dobijamo:

[inlmath]a=-3[/inlmath]
[inlmath]-a\left(x_1+x_2+x_3\right)=1[/inlmath]
[inlmath]a\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)=-3[/inlmath]
[inlmath]-ax_1x_2x_3=2[/inlmath]

tj.

[inlmath]x_1+x_2+x_3=\frac{1}{3}[/inlmath]
[inlmath]x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=1[/inlmath]
[inlmath]x_1x_2x_3=\frac{2}{3}[/inlmath]

E sad, po istom računu kao i malopre, jednačina čija su rešenja [inlmath]x_1+x_2[/inlmath], [inlmath]x_1+x_3[/inlmath] i [inlmath]x_2+x_3[/inlmath] bila bi
[dispmath]ax^3-a\left[\left(x_1+x_2\right)+\left(x_2+x_3\right)+\left(x_1+x_3\right)\right]x^2+[/dispmath][dispmath]+a\left[\left(x_1+x_2\right)\left(x_2+x_3\right)+\left(x_2+x_3\right)\left(x_1+x_3\right)+\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_3\right)\right]x-a\left(x_1+x_2\right)\left(x_2+x_3\right)\left(x_1+x_3\right)=0[/dispmath]
Kad se to sve izmnoži i sredi...
[dispmath]ax^3-2a\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+a\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2+3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)\right]x-[/dispmath][dispmath]-a\left(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_1^2x_3+x_1x_3^2+2x_1x_2x_3\right)=0[/dispmath]
Koeficijent uz kvadratni član, [inlmath]-2a\left(x_1+x_2+x_3\right)[/inlmath], znamo. To je [inlmath]\left(-2a\cdot\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}a[/inlmath].

Što se tiče koeficijenta uz linearni član, za njegovo nalaženje iskoristićemo identitet
[dispmath]\left(x_1+x_2+x_3\right)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)[/dispmath]
pa će koeficijent uz linearni član biti
[dispmath]a\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2+3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)\right]=[/dispmath][dispmath]=a\left[x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)\right]=[/dispmath][dispmath]=a\left[\underbrace{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}_{\left(\frac{1}{3}\right)^2}+\underbrace{\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)}_1\right]=a\left[\left(\frac{1}{3}\right)^2+1\right]=\frac{10}{9}a[/dispmath]
Za nalaženje slobodnog člana koristimo identitet
[dispmath]\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)=x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_1^2x_3+x_1x_3^2+3x_1x_2x_3[/dispmath]
pa će slobodni član biti
[dispmath]-a\left(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_1^2x_3+x_1x_3^2+2x_1x_2x_3\right)=[/dispmath][dispmath]=-a\left(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_1^2x_3+x_1x_3^2+3x_1x_2x_3-x_1x_2x_3\right)=[/dispmath][dispmath]=-a\left[\underbrace{\left(x_1+x_2+x_3\right)}_\frac{1}{3}\underbrace{\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)}_1-\underbrace{x_1x_2x_3}_\frac{2}{3}\right]=-a\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}a[/dispmath]
Prema tome, tražena jednačina će biti
[dispmath]ax^3-\frac{2}{3}ax^2+\frac{10}{9}ax+\frac{1}{3}a[/dispmath]

P.S. Ne garantujem da se nisam nigde zeznô, jer ipak, glomazan je postupak, ali princip je u svakom slučaju taj.

Bolje je da koristi tvoj nacin jer ne mora da resava kubnu jednacinu - ima mnogo brojeva koji nisu celi i mnogo racunanja. Ubio sam se racunajuci
Uglavnom vazno je da su resenja ista

Da, uze mi reči iz usta, forzajuve. Rešenja su nam ista kada se u moje rešenje uvrsti da je [inlmath]a=9[/inlmath].

Dobila sam to rješenje hehe jupiiii hehehe.hvala punoo

Koliko iznosi zbroj rješenja jednadžbe
[dispmath]2(x+5)^3-7(x+5)^2+7(x+5)-2=0[/dispmath]
Ja počnem zadatak rješavati tako da izvučem zajednički faktor prva tri člana [inlmath](x+5)[/inlmath] i dobijem kubnu jednadžbu;
[dispmath]2x^3+23x^2+87x+108=0[/dispmath]
I onda sam iša to rješavat preko načina koji je objasnia forzajuve u Kubnim jednadžbama - prvi dio, ali sam odusta jer na ispitu mi nemamo te formule i virujem da se može puno brže to rješit od samog početka....Kako ?

EDIT: Grupiranje prvog i četvrtog člana i drugog i trećeg člana !

Ma lakše ti je da lepo uvedeš smenu [inlmath]t=x+5[/inlmath], nego da sve to množiš.
Dakle,[dispmath]2t^3-7t^2+7t-2[/dispmath]i onda rastavljaš:
[dispmath]2t^3-2t^2-5t^2+5t+2t-2=2t^2\left(t-1\right)-5t\left(t-1\right)+2\left(t-1\right)[/dispmath]
Dalje več vidiš kako. Izvučeš [inlmath]\left(t-1\right)[/inlmath] kao zajednički faktor pa će ti [inlmath]t_1=1[/inlmath] biti jedno rešenje, a za preostala dva rešenja rešavaš kvadratnu jednačinu. Treba da dobiješ [inlmath]t_2=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]t_3=2[/inlmath].
Kad vratiš smenu, dobiješ odgovarajuća rešenja za [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath] i odna ih sabereš...