MATEMANIJA

Ne rješavajući jednačinu [dispmath]x^2+px+q=0[/dispmath] sastaviti kvadratnu jednačinu čiji je jedan korijen jednak zbiru kubova rješenja dane jednačine, a drugi je jednak kubu zbira tih rješenja.

Nova jednačina ima korene [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], gde je:
[inlmath]a={x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)\left({x_1}^2-x_1x_2+{x_2}^2\right)=(x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\right)[/inlmath]
[inlmath]b=(x_1+x_2)^3[/inlmath]

Vrednosti [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2[/inlmath] lako odrediš preko Vijetovih veza, samim tim i vrednosti [inlmath]a, b[/inlmath] a traženu kvadratnu jednačinu ćeš onda dobiti množenjem:
[dispmath](x-a)(x-b)=0[/dispmath]

Mozete li mi molim te uraditi ovaj zadatak, ja stvarno ne znam kako da ga uradim, molim vas, ili samo sliku postavite bicu ja zadovoljna ma prezadovoljna..hvala vam puno

Hajde, napregni malo vijuge, možeš ti to. Milovan ti je uradio [inlmath]80\%[/inlmath] zadatka. Evo ti uputstvo i za preostalih [inlmath]20\%[/inlmath]:
Vietove formule znaš. Za kvadratnu jednačinu opšteg oblika[dispmath]ax^2+bx+c=0[/dispmath]glase[dispmath]x_1+x_2=-\frac{b}{a}\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/dispmath]
Nagradno pitanje: Kako onda glase Vietove formule za kvadratnu jednačinu koja je ovde zadata, tj. [inlmath]x^2+px+q=0[/inlmath]? Toliko je jednostavno da neću da ti kažem.
E sada u ove izraze za [inlmath]a[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath] koje ti je Milovan napisao, lepo umesto [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] uvrstiš jednu Vietovu formulu, a umesto [inlmath]x_1\cdot x_2[/inlmath] uvrstiš onu drugu.
Pomoć: ako si sve uradila kako treba, onda ćeš dobiti
[dispmath]a=p\left(3q-p^2\right)[/dispmath][dispmath]b=-p^3[/dispmath]
Sada lepo formiraš jednačinu[dispmath]\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0[/dispmath]uvrstiš ove vrednosti umesto [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], izmnožiš to i... eto ti jednačina koja se traži.

Treba da dobiješ rešenje[dispmath]x^2+p\left(2p^2-3q\right)x+p^4\left(p^2-3q\right)=0[/dispmath]

Nagradno pitanje: Kako onda glase Vietove formule za kvadratnu jednačinu koja je ovde zadata, tj. [inlmath]x^2+px+q=0[/inlmath]? Toliko je jednostavno da neću da ti kažem.

[inlmath]-p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]?

Dabome.

[dispmath]a=p\left(3q-p^2\right)[/dispmath][dispmath]b=-p^3[/dispmath]

Ovo sam dobila

Treba da dobiješ rešenje[dispmath]x^2+p\left(2p^2-3q\right)x+p^4\left(p^2-3q\right)=0[/dispmath]

Ne dobijem ovo rjesenje, ima li neki drugi nacin za dobiti kvadratnu jednacinu, bez tog [inlmath](x-a)(x-b)[/inlmath], jer to nismo spominjali nikako, a ove [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] jesmo

To je samo stvar obeležavanja, ništa drugo. Možeš ih obeležiti i sa [inlmath]x_1'[/inlmath] i sa [inlmath]x_2'[/inlmath], bitno je samo da se po oznakama razlikuju od rešenja date jednačine. Milovan je uveo oznake [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], što mislim da je sasvim OK.

Ako hoćeš da vidimo gde ti je greška, možeš nam napisati kako si računala.

Da da, stvar obiljezavanja, to je ok, nego ja pitam moze li se neka druga formula koristiti da se dobije jednacina?

Ako hoćeš da vidimo gde ti je greška, možeš nam napisati kako si računala.

ja sam ovako racunala: [dispmath](x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\right)=-p[/dispmath][dispmath]-p\left((-p)^2-3q\right)=-p[/dispmath][dispmath]-p\left(p^2-3q\right)=-p[/dispmath] to sve pomnozim s [inlmath]-1[/inlmath], pa imam: [dispmath]p\left(3q-p^2\right)=p[/dispmath][dispmath]p=p\left(3q-p^2\right).[/dispmath]
[dispmath](x_1+x_2)^2=q[/dispmath][dispmath](-p)^3=q[/dispmath][dispmath]q=(-p)^3[/dispmath]
Eeh sad imam: [dispmath](x-p)(x-q)=0[/dispmath][dispmath]\left(x-p\left(3q-p^2\right)\right)\left(x-(-p)^3\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(x-p\left(3q-p^2\right)\right)\left(x+p^3\right)=0.[/dispmath] I dalje sta sam radila nije dobro to znam , pa sam ja to obrisala, i probala jos koji put ali ne ide, ne dobijem nikad isto rjesenje kao u tebe :/

E, to! Sad već imamo nešto konkretno što možemo da prodiskutujemo.

indira-aa je napisao:ja sam ovako racunala: [dispmath](x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\right)=-p[/dispmath]

Zbog čega si s desne strane napisala [inlmath]-p[/inlmath]? Milovan ti je lepo napisao formulu iz koje vidiš da je sve ovo jednako [inlmath]a[/inlmath] (jedno rešenje tražene jednačine), a ne [inlmath]-p[/inlmath] ([inlmath]p[/inlmath] je koeficijent date kvadratne jednačine i veze nema sa [inlmath]a[/inlmath]).

indira-aa je napisao:[dispmath](x_1+x_2)^2=q[/dispmath]

Isti slučaj – zašto [inlmath]q[/inlmath] s desne strane? Ovo treba da bude jednako [inlmath]b[/inlmath]. Inače je u eksponentu trojka, a ne dvojka.

indira-aa je napisao:[dispmath]-p\left(p^2-3q\right)=-p[/dispmath] to sve pomnozim s [inlmath]-1[/inlmath], pa imam: [dispmath]p\left(3q-p^2\right)=p[/dispmath]

Pogrešno množiš s [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath]. Treba da pomnožiš ili samo [inlmath]p[/inlmath] a izraz u zagradi ne diraš, ili pomnožiš samo izraz u zagradi, a [inlmath]p[/inlmath] ne diraš.
Recimo, kad množiš izraz [inlmath]\left(a\cdot b\right)[/inlmath] sa [inlmath]c[/inlmath], to nije [inlmath]\left(c\cdot a\cdot c\cdot b\right)[/inlmath] (znači, ne množiš [inlmath]c[/inlmath] sa svakim od činilaca, već će to biti [inlmath]\left(c\cdot a\cdot b\right)[/inlmath] (znači, samo jedno množenje sa [inlmath]c[/inlmath].
Nemoj to mešati s množenjem binoma nekim članom, gde, zbog zakona distribucije, taj član treba množiti sa svakim sabirkom u binomu:
[inlmath]\left(a+b\right)\cdot c=\left(c\cdot a+c\cdot b\right)[/inlmath]

indira-aa je napisao:Eeh sad imam: [dispmath](x-p)(x-q)=0[/dispmath]

Ista stvar – zašto si u ovoj formuli pisala [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], kad treba [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]?

indira-aa je napisao:[dispmath]\left(x-p\left(3q-p^2\right)\right)\left(x+p^3\right)=0.[/dispmath] I dalje sta sam radila nije dobro to znam , pa sam ja to obrisala, i probala jos koji put ali ne ide, ne dobijem nikad isto rjesenje kao u tebe :/

I pored grešaka u postupku, sasvim slučajno si dobila ispravno rešenje. A oblik rešenja kao što sam ja napisao, dobila bi kad bi to sad izmnožila (znaš, pretpostavljam, množenje polinoma?)

indira-aa je napisao:Da da, stvar obiljezavanja, to je ok, nego ja pitam moze li se neka druga formula koristiti da se dobije jednacina?

Koliko je meni poznato, ne.