MATEMANIJA

Ako [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath], i [inlmath]x_3[/inlmath] resenja jednacine: [inlmath]27x^3-8=0[/inlmath] onda je [inlmath]x_1\cdot x_2+x_2\cdot x_3+x_1\cdot x_3=?[/inlmath]
lako dobijem [inlmath]x^3=\frac{8}{27}[/inlmath]
[inlmath]x=\frac{2}{3}[/inlmath]
Ali kako da dobijem [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath]

Molim te da [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath], i [inlmath]x_3[/inlmath] ne pišeš kao x1, x2, i x3, kao i da [inlmath]x_1\cdot x_2+x_2\cdot x_3+x_1\cdot x_3[/inlmath] ne pišeš kao x1*x2+x2*x3+x1*x3. Imaš u Latexu komandu _ za indeks i komandu \cdot za oznaku množenja.

Nije ni potrebno da određuješ [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath]. Traženi izraz nađeš koristeći Vietove formule.

---

Inače, nije neophodno za ovaj zadatak, ali korisno je znati, [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath] će biti kompleksni brojevi, i to konjugovano-kompleksni. Uvek kad imaš jednačinu u kojoj je razlika kubova jednaka nuli, ta jednačina će imati samo jedno realno rešenje, dok će druga dva biti konjugovano-kompleksna, što se može i pokazati:
[dispmath]a^3x^3-b^3=0[/dispmath]
Rastavimo to kao razliku kubova,
[dispmath]\left(ax-b\right)\left(a^2x^2+abx+b^2\right)=0\\
ax-b=0\quad\lor\quad a^2x^2+abx+b^2=0[/dispmath]
Rešenje prve, linearne jednačine iznosi [inlmath]x=\frac{b}{a}[/inlmath], dok je diskriminanta druge, kvadratne jednačine [inlmath]D=-3a^2b^2<0[/inlmath], prema tome, ta kvadratna jednačina nema realna, već konjugovano-kompleksna rešenja.

Fala lepo