MATEMANIJA

Dakle nejednacina je: [dispmath]\frac{x^2-7x+10}{x^2-5x+4}\le0[/dispmath]
i diskusija [inlmath]x^2-7x+10\le0\;[/inlmath] i [inlmath]\;x^2-5x+4>0[/inlmath]
za prvu su resenja [inlmath]x\in[2,5][/inlmath] a za drugu [inlmath]x\in(-\infty,1)\cup(4,\infty)[/inlmath]
Kako da prikazem njihov presek?

Jedan način je da presek nađeš grafički. Prvo predstaviš interval [inlmath]\left[2,5\right][/inlmath] na brojevnoj pravoj,


(Zadebljanim granicama intervala, kod dvojke i kod petice, označio sam da je u pitanju zatvoreni interval, tj. interval koji obuhvata i granice.)

Zatim isto tako na brojevnoj pravoj predstaviš i interval [inlmath]\left(-\infty,1\right)\cup\left(4,+\infty\right)[/inlmath],


(Ovde kod jedinice i četvorke nisam zadebljao granice intervala, kako bih pokazao da je u pitanju otvoreni interval, tj. interval koji ne obuhvata granice.)

I, na kraju, presek prethodna dva intervala bila bi oblast obeležena ljubičasto na sledećoj slici:


Preostalo je još samo da očitaš koji je to interval.

---

A možeš i da primeniš osobinu distributivnosti preseka u odnosu na uniju, pa tako dobiješ
[dispmath]\left[2,5\right]\cap\big(\left(-\infty,1\right)\cup\left(4,+\infty\right)\big)=\big(\left[2,5\right]\cap\left(-\infty,1\right)\big)\cup\big(\left[2,5\right]\cap\left(4,+\infty\right)\big)[/dispmath]
Za [inlmath]\left[2,5\right]\cap\left(-\infty,1\right)[/inlmath] je prilično očigledno da je to prazan skup, dakle ostaje ti samo da nađeš presek [inlmath]\left[2,5\right]\cap\left(4,+\infty\right)[/inlmath]...

---

Naravno, ovo je samo jedan slučaj koji treba da razmatraš kod ove nejednačine. Drugi slučaj bi bio [inlmath]x^2-7x+10\ge0[/inlmath] i [inlmath]x^2-5x+4<0[/inlmath]...

Moze i preko tablice. Prvo rastavis izraz.
[dispmath]\frac{x^2-7x+10}{x^2-5x+4}\leq0[/dispmath][dispmath]\frac{(x-5)(x-2)}{(x-4)(x-1)}\leq0[/dispmath]
Pa onda napravis tablicu koja lici na ovako nesta

Kolone sa [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] su precrtane zato sto ti brojevi ne pripadaju domenu.
[inlmath]R(J)[/inlmath] popunjavamo tako sto gledamo fore [inlmath]+[/inlmath] i [inlmath]-[/inlmath]. Normalno kad se dva [inlmath]-[/inlmath] mnoze dobijamno [inlmath]+[/inlmath] itd...
Sada tumacimo poslednji red, trazi nam se kada je funkcija manja od nule pa gledamo tamo gde pise [inlmath]-[/inlmath].
Znaci resenja su izmedju [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath].
[dispmath]R(N)=x\in(1,\;2]\cup(4,\;5][/dispmath]
E da gore u tablici nisam i uokvirio nule i one su u resenju.

Kakvi opsirni odgovori, rispekt:D