MATEMANIJA

Pozdrav svima, moze li pomoc oko ovog zadatka, zapeo sam resenje kaze
[dispmath]x<=-1 x>=4-sqrt5[/dispmath]
Ovako ide zadatak:
[dispmath]|x^2-5x+4|>=7-3x[/dispmath]

@Djordje996,
pre svega pozdrav. I dobro došao na forum.
No ovo tvoje:

Djordje996 je napisao:[dispmath]x<=-1 x>=4-sqrt5[/dispmath]

može se shvatiti i kao funkcija pet promenljivih. Prvo [inlmath]x[/inlmath] pa potom [inlmath]s[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath], [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath].
Šalim se naravno, jasno mi je da se radi o korenu.
Predlažem da ti neko iz moderatorskog tima ili ja ovo ispravimo u postavci, ili ti a imaš Latex uputstvo pa da nastavimo.

Primetio sam da nije ispalo kako sam zamislio, ali ne mogu da nadjem opciju za editovanje komentara

I da se doreknem:
Ispraviću postavku u tvom postu ako potvrdiš da sam te ispravno razumeo, a potom ide i rešenje
A da ispraviš post možeš u prvih par minuta, dalje editovanje je dozvoljeno samo moderatorima.

Resenja su: [inlmath]x\le-1\;[/inlmath] i [inlmath]\;x\ge4-\sqrt5[/inlmath]
A zadatak je: [inlmath]\left|x^2-5x+4\right|\ge7-3x[/inlmath]
E sad je dobro

E ovo je odlično. Post sasvim u skladu s pravilnikom. Zato thanks od mene.
Što se tiče zadatka, hajde da ga uradimo zajedno. Ali prvo ja. Pa ti.
Ako je "nešto" po apsolutnoj vrednosti veće ili jednako od nekog broja, imamo dva slučaja:

Djordje996 je napisao:[inlmath]\left|x^2-5x+4\right|\ge7-3x[/inlmath]

• [inlmath]x^2−5x+4\ge7−3x[/inlmath] (prvi slučaj)
  Odavde se dobija lako rešiva kvadratna jednačina, s rešenjima [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath]. Otvor grana parabole (nacrtaj je!) u smeru je [inlmath]y[/inlmath] ose, tj. ka "gore". Evidentno je da je:
  [inlmath]x\le-1[/inlmath], kao i [inlmath]x\ge3[/inlmath]

• [inlmath]x^2−5x+4\le-(7−3x)[/inlmath] drugi slučaj
  Hajde sada ti reši ovu drugu, pa da sklopimo sve.
  p.s. Ovde imaš taj [inlmath]\sqrt5[/inlmath] i taj drugi uslov.

Potvrđujem i tačnost rešenja:

Djordje996 je napisao:Resenja su:
[inlmath]x\le−1[/inlmath]
[inlmath]x\ge4−\sqrt5[/inlmath]

Predlazem postavljacu teme da pokusa i graficki da resi dati problem. Dakle, prvo je potrebno da skicira funkciju [inlmath]\left|x^2-5x+4\right|[/inlmath]. To radi tako sto prvo skicira funkciju [inlmath]x^2-5x+4[/inlmath], a onda njen negativni deo prevrne u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu (time je dobio grafik funkcije [inlmath]\left|x^2-5x+4\right|[/inlmath]). Zatim nacrta (na istom crtezu) i grafik funkcije [inlmath]7-3x[/inlmath]. Onda mu se zadatak svodi na odredjivanje onih [inlmath]x[/inlmath] za koje je grafik funkcije [inlmath]\left|x^2-5x+4\right|[/inlmath] iznad (ili pak jednak, tj. ima presecne tacke) funkcije [inlmath]7-3x[/inlmath].

Ja nisam bas vican sa programima za crtanje funkcija, te ako nekome nije tesko mislim da bi bilo lepo da imamo i crtez cele ove situacije. Ako bas niko ne bude prilozio dati crtez, onda cu to ja, samo, bice mi potrebno malo vremena da to sve uradim.

EDIT: evo i slike, nije nesto, al posluzice

Onomatopeja je napisao:Predlazem postavljacu teme da pokusa i graficki da resi dati problem.

Hvala lepo na ovome, pokusacu I na taj nacin da resim.

desideri je napisao:

• [inlmath]x^2−5x+4\le-(7−3x)[/inlmath] drugi slučaj
  Hajde sada ti reši ovu drugu, pa da sklopimo sve.
  p.s. Ovde imaš taj [inlmath]\sqrt5[/inlmath] i taj drugi uslov.

Kvadratna jednacina sa nulama [inlmath]4+\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]4-\sqrt5[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]4-\sqrt5\le x\le4+\sqrt5[/inlmath]
Posle ovoga nisam siguran sta da radim, mislio sam da je resenje presek ova dva resenja, ali ocigledno nije. (zasto!?)

Onomatopeja je napisao:EDIT: evo i slike, nije nesto, al posluzice

Kako mogu da znam tacne koordinate [inlmath]B[/inlmath] tacke?

Djordje996 je napisao:Kvadratna jednacina sa nulama [inlmath]4+\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]4-\sqrt5[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]4-\sqrt5\le x\le4+\sqrt5[/inlmath]
Posle ovoga nisam siguran sta da radim, mislio sam da je resenje presek ova dva resenja, ali ocigledno nije. (zasto!?)

Ustvari, da, resenje je upravo unija oba uslova

Postoji ovde i jako bitan detalj na koji mi je Danel skrenuo pažnju :
[dispmath]\left|x^2-5x+4\right|\ge7-3x[/dispmath]
Naime, ukoliko je [inlmath]7-3x[/inlmath] negativno, nejednakost je uvek zadovoljena. Za svako [inlmath]x[/inlmath].
Uz zadate vrednosti i ovaj uslov, postupak i rešenje zadatka su, naravno, tačni.

Da dopunim:
I da je
[dispmath]7-3x\le0[/dispmath]
Opet je nejednakost tačna za svako [inlmath]x[/inlmath].
Umesto ovoga:

desideri je napisao:Naime, ukoliko je [inlmath]7−3x[/inlmath] negativno, nejednakost je uvek zadovoljena. Za svako [inlmath]x[/inlmath].

Precizno je ovako:
Naime, ukoliko je [inlmath]7−3x[/inlmath] nepozitivno, nejednakost je uvek zadovoljena. Za svako [inlmath]x[/inlmath].

Hvala puno ljudi

Je l' postoji neki laksi nacin resavanja ove jednacine ili kubna jednacina mora da se resava?
[dispmath]\frac{x^2+5x-4}{x^3-1}\ge4[/dispmath]

Zadatak ne spada u ovu temu.
Tvoja tema je:
Algebarska nejednacina s kvadratnom funkcijom u apsolutnim zagradama.
Trebalo bi, u skladu s Pravilnikom foruma Matemanija da otvoriš posebnu temu za ovaj zadatak.
Dobro, možda previše insistiram na pravilniku, ali stvarno ovo je drugačiji zadatak, zar ne?

Hahaha, okej, izvinjavam se.

@Djordje996, hajde, molim te, pročitaj jednom lepo taj Pravilnik foruma. Od početka do kraja.

Djordje996 je napisao:

Onomatopeja je napisao:EDIT: evo i slike, nije nesto, al posluzice

Kako mogu da znam tacne koordinate [inlmath]B[/inlmath] tacke?

Koordinate presečnih tačaka dve krive zadatih svojim funkcijama određuješ tako što izjednačiš njihove promenljive [inlmath]y[/inlmath], pri čemu ćeš dobiti neku jednačinu po [inlmath]x[/inlmath]. Rešavanjem te jednačine po [inlmath]x[/inlmath], dobijaš [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka.
Dakle, imaš ove dve funkcije:
[dispmath]y_1=\left|x^2-5x+4\right|\\
y_2=7-3x[/dispmath]
Izjednačiš njihove promenljive [inlmath]y[/inlmath],
[dispmath]y_1=y_2\quad\Rightarrow\quad\left|x^2-5x+4\right|=7-3x[/dispmath]
Ovo dosta liči na prvobitni zadatak, samo što ovde sad nemamo nejednačinu, već jednačinu, pa je i jednostavnije rešiti je. Dobiju se rešenja [inlmath]x_1=-1[/inlmath] i [inlmath]x_2=4-\sqrt5[/inlmath]. I to su [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka na grafiku koji je Onomatopeja nacrtao.
[inlmath]y[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka ne moraš određivati, nisu ti potrebne. Dovoljno je samo da posmatraš u kojim intervalima promenljive [inlmath]x[/inlmath] će prava [inlmath]y=7-3x[/inlmath] biti ispod krive [inlmath]y=\left|x^2-5x+4\right|[/inlmath], budući da se u zadatku traži da [inlmath]7-3x[/inlmath] bude manje ili jednako od [inlmath]\left|x^2-5x+4\right|[/inlmath].

---

Što se tiče „negrafičkog“ rešavanja – dakle, da rezimiramo – možeš da radiš ovako kako ti je Desideri pokazao, da posmatraš dva odvojena slučaja,
1. slučaj: [inlmath]\underline{7-3x>0}[/inlmath]
[dispmath]x^2-5x+4\le-\left(7-3x\right)\quad\lor\quad x^2-5x+4\ge 7-3x[/dispmath]
2. slučaj: [inlmath]\underline{7-3x\le0}[/inlmath]
[dispmath]x\in\mathbb{R}[/dispmath]
a možeš da ideš i na način koji je, po meni, nešto „školskiji“ i „standardniji“, a to je da posmatraš odvojeno slučajeve predznaka izraza unutar apsolutne vrednosti:
1. slučaj: [inlmath]\underline{x^2-5x+4\ge0}[/inlmath]
[dispmath]x^2-5x+4\ge7-3x[/dispmath]
2. slučaj: [inlmath]\underline{x^2-5x+4<0}[/inlmath]
[dispmath]-\left(x^2-5x+4\right)\ge7-3x[/dispmath]
i na kraju nađeš uniju ta dva skupa rešenja...