MATEMANIJA

Je l' postoji neki laksi nacin resavanja ove jednacine ili kubna jednacina mora da se resava?
[dispmath]\frac{x^2+5x-4}{x^3-1}\ge4[/dispmath]

Da si makar krenuo s rešavanjem zadatka, video bi da ne mora...

[dispmath]\frac{x^2+5x-4}{x^3-1}\ge4[/dispmath]
Uz uslov [inlmath]x\ne1[/inlmath] ovo se svodi na:
[dispmath]x^2+5x-\cancel4\ge4x^3-\cancel4\\
-4x^3+x^2+5x\ge0[/dispmath]
Ovo je dalje:
[dispmath]x\left(4x^2-x-5\right)\le0[/dispmath]
E dalje je, mislim, lako.
Valja ti razmisliti i šta bi bilo da je [inlmath]x^3-1[/inlmath] negativno. Obrće se smer pri množenju, iliti znak. Obrati pažnju i na ovaj slučaj!

Drugi način je da se prebaci četvorka na levu stranu nejednakosti, pa sve dovede na zajednički imenilac (nazivnik). Može i tako.
tek sada videh i Danielov post gde ti lepo kaže da je trebalo i krenuti sa zadatkom. Po Pravilniku foruma.
No dobro, pokrenuo si novu temu na moju sugestiju, umesto da nastavimo onu tvoju staru tako da mislim da može da se toleriše, pokazao si trud.

Daniel je napisao:Da si makar krenuo s rešavanjem zadatka, video bi da ne mora...

Naravno da jesam i dosao sam do kubne jednacine ovako:
[dispmath]\frac{x^2+5x-4}{x^3-1}\ge4[/dispmath]
Odavde odmah vidim da [inlmath]x^3-1\ne0[/inlmath] dakle [inlmath]x^3\ne1[/inlmath] Sto je prvi uslov
Ako prebacim cetvorku na levu stranu i sredim dobijam:
[dispmath]\frac{-4x^3+x^2+5x}{x^3-1}\ge0[/dispmath]
Postoje dva slucaja u kojima je ovaj razlomak pozitivan, a to su:
1.
[dispmath]-4x^3+x^2+5x\ge0\\
x^3-1>0[/dispmath]
2.
[dispmath]-4x^3+x^2+5x\le0\\
x^3-1<0[/dispmath]
Pri ispitivanju oba slucaja mora da se resava kubna jednacina. Postoji li drugi nacin da se dodje do resenja?

Okej, sad sam video ostale odgovore i izgleda da mora jos mnoogo da vezbam, hvala puno.

Znači, pošto u izrazu [inlmath]-4x^3+x^2+5x[/inlmath] u svim sabircima figuriše [inlmath]x[/inlmath], to [inlmath]x[/inlmath] može da ide izvan zagrade i u zagradi ostaje kvadratna funkcija. Srećna okolnost je bila ta što su se kratile one četvorke. Da nisu, zaista bismo morali da rešavamo kubnu jednačinu.
Znači, nejednačinu na kraju svedeš na oblik
[dispmath]\frac{x\left(-4x^2+x+5\right)}{x^3-1}\ge0[/dispmath]
Ovo možeš još uprostiti, ako imaš u vidu da je [inlmath]x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)[/inlmath], pri čemu znamo da je faktor [inlmath]\left(x^2+x+1\right)[/inlmath] pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath]. Prema tome, on nema uticaja na znak cele funkcije. Možemo ga zato izostaviti:
[dispmath]\frac{x\left(-4x^2+x+5\right)}{x-1}\ge0[/dispmath]
[inlmath]-4x^2+x+5[/inlmath] rastaviš na faktore i onda ćeš imati ukupno četiri faktora od kojih zavisi znak cele funkcije. Najlakše ti je da zatim nacrtaš tabelu njihovih predznaka. Kad je broj negativnih faktora paran, cela funkcija će biti pozitivna. Kad je broj negativnih faktora neparan, cela funkcija će biti negativna.

---

Kad Latex-formule ispisuješ u zasebnom redu, bolje je da to činiš equation-tagom, nego inlinemath-tagom. Ispadnu istaknutije i čitljivije, pogotovo kad su u pitanju razlomci, kao što je ovde slučaj. Uporedi ovo:
[inlmath]\frac{x^2+5x-4}{x^3-1}\ge4[/inlmath]
i ovo:
[dispmath]\frac{x^2+5x-4}{x^3-1}\ge4[/dispmath]
Korigovaću ti to, ali da znaš za ubuduće.

Možda je najbolje i "najškolskije" pošto znam te šablone po kojima vas uče baš ovako kao što si počeo:
[dispmath]\frac{-4x^3+x^2+5x}{x^3-1}\ge0[/dispmath]
Ako se nastavi imamo:
[dispmath]\frac{x\left(-4x^2+x+5\right)}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}\ge0[/dispmath]
Izraz [inlmath]x^2+x+1[/inlmath] je uvek pozitivan. Zašto?
Ostaje da vidiš lake kombinacije (obično ih rade na tri prave plus zbirna) ostala tri izraza, pa gde su sve sami plusići, to je to.

Hvala vam puno obojici, sad je kristalno jasno. Ne mogu da verujem da mi je promaklo da izvucem zajednicko [inlmath]x[/inlmath]