MATEMANIJA

U pitanju je jednacina
[dispmath]x^4+y^4+2=4xy[/dispmath]
Navodno jednacina se rjesava uz pomoc AG nejednakost. Mada ponovo i kada to sve upotrijebim nije mi to najjasnije kako su zakljucili iz AG nejednakost da je rjesenje jednacine [inlmath]|x|=|y|=1[/inlmath]. Uzem za clanove [inlmath]1,1,x^4,y^4[/inlmath] znamo da je [inlmath]A_s\ge G_s[/inlmath]
[dispmath]\frac{x^4+y^4+1+1}{4}\ge\sqrt[4]{x^4y^4}[/dispmath][dispmath]x^4+y^4+2\ge4|x||y|[/dispmath][dispmath]4xy\ge4|x||y|[/dispmath][dispmath]xy\ge|x||y|[/dispmath][dispmath]xy=|x||y|[/dispmath]
Ne znam kako su iz ovog izvucena ona dva rjesenja.

Pa, ako pogledamo sve, dobio si da vazi [inlmath]\displaystyle\frac{x^4+y^4+1+1}{4}=|x||y|[/inlmath], odnosno da u AG nejednakosti mora vaziti jednakost. Onda se seti kada (i samo kada) u AG vazi jednakost, i sve ce ti biti jasno.

@Gamma,
AG nejednakost je nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine.
Arithemitic mean Geometric mean inequality.
Zašto to nisi prvo pojasnio?
Odakle ljudi da znaju šta je AG nejednakost?
A ima slično i s harmonijskom sredinom
E sada ne bih da odgovorim na inače zanimljivo pitanje jer po mom mišljenju nisi dovoljno poštovao pravilnik.
Ali ko god hoće neka ti odgovori.
p.s.
Da se doreknem: ovo je više matematička statistika nego algebra.
Znam o čemu pričam.
Dakle: temu si promašio.
Pre svega, nisi objasnio skraćenice i pojmove koje koristiš.
Sada tek videh da ti je kolega Onomatopeja odgovorio.
Po mom mišljenju, nisi zaslužio taj odgovor.
Molim te da i sam pojasniš šta je AG jer to nije baš često viđano u klasičnoj matematici.
U statistici postoje i AH i GH.

@onomatopeja
Jasno mi je sve sada.
@desideri
Sto se tice te nejednakost i bilo koje druge medju brojevnim sredinama, ja to ne razumijem bas najbolje. U srednjoj skoli nismo to radili. Nismo ni na fax-u jer to ide poslje i dokazuje se preko konveksnosti i konkavnosti. I da sam htio nisam mogo puno toga tu napisati. Mislim moglo se skontati sta sam koristio u zadatku ipak sam nesto prilozio dodatno. A temu mozes prebaciti u statistiku.

Geometrijska sredina se upotrebljava kao mera brzine posmatranih pojava.
Uvek je manja ili jednaka od aritmetičke sredine.

Primer bi glasio:
[dispmath]\sqrt{8\cdot2}=4[/dispmath][dispmath]\frac{8+2}{2}=5[/dispmath]
Ovde su dva broja, [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] i najpre je prikazana geometrijska, a potom i aritmetička sredina.
Mislim da je jasno.

Navodim bez dokaza sledeće tvrđenje:
Geometrijska sredina za dva broja jednaka je aritmetičkoj sredini ako i samo ako (akko) su ti brojevi jednaki.

To znači da u postavljenom zadatku (a to već i statistički vrapci na grani znaju):
[dispmath]x^4+y^4+2=4xy[/dispmath]
treba staviti [inlmath]x=y[/inlmath]
Dobija se ultraprosta bikvadratna jednačina.