MATEMANIJA

Pozdrav
Ako može neko pomoći kako riješiti ovaj zadatak, došao sam do situacije da se samo vrtim u krug, a ne dobijam ništa, vjerovatno nešta pogrešno radim
Ako je dato: [inlmath]a=\log_{20}\left(30\right),\:b=\log_{10}\left(35\right),\:c=\log_{\frac{56}{9}}\left(\frac{21}{5}\right)[/inlmath]
izaziti [inlmath]\log_{15}\left(49\right)\:[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].

Hvala unaprijed

Pa hajde prikazi to sto "pogresno" radis, pa da vidimo sta je to tu "pogresno" i kako se to da ispraviti.

zadnje što sam pokušavao je da rastavim [inlmath]\log_{15}\left(49\right)[/inlmath] i onda dobijem [inlmath]\log_{15}\left(49\right)=2\cdot\log_{15}\left(7\right)=2\cdot\frac{b-\log_{10}\left(5\right)}{\log_{10}\left(15\right)}[/inlmath] i šta god da uradim dobijam još teži oblik za rješavanje, a ovo [inlmath]c[/inlmath] još uvijek nisam našao gdje mogu iskoristiti

Ubedjen sam da postoji laksi nacin, ali, ja ga u ovom trenutku i ne vidim. Evo kako sam ja uradio (ne bas pametno reklo bi se). Prvo, primetimo da vazi
[dispmath]\begin{align}
a & =\frac{\log30}{\log20}=\frac{\log2+\log3+\log5}{2\log2+\log5}\\
b & =\frac{\log35}{\log10}=\frac{\log5+\log7}{\log2+\log5}\\
c & =\frac{\log3+\log7-\log5}{3\log2+\log7-2\log3}.
\end{align}[/dispmath]
Sada, ako uvedemo smene (radi "lakseg" pracenja) [inlmath]x=\log3[/inlmath], [inlmath]y=\log5[/inlmath], [inlmath]z=\log7[/inlmath] i [inlmath]t=\log2[/inlmath], vidimo da se prethodno svodi na
[dispmath]\begin{align}
a & =\frac{t+x+y}{2t+y}\\
b & =\frac{y+z}{t+y}\tag{1}\\
c & =\frac{x+z-y}{3t+z-2x}.
\end{align}[/dispmath]
Takodje, prisetimo da se nama trazi
[dispmath]\log_{15}49=2\log_{15}7=2\frac{\log7}{\log3+\log5}=\frac{2z}{x+y}.\tag{2}[/dispmath]
Zato je potrebno izraziti [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] (i naravno [inlmath]t[/inlmath], za koje se potajno molimo da ce svuda iskakati, tj. da ce se posle skratiti u daljem procesu) i time smo resili nas problem. Naravno, tu vezu dobijamo iz gornjeg sistema [inlmath](1)[/inlmath]. Kada se to resi dobija se
[dispmath]\begin{align}
x & =-\frac{t(abc-ab-5ac+4a+4c-2)}{-3+a+b-c+2ac-bc}\\
y & =-\frac{t(4ac-bc+2a+b-5c-1)}{-3+a+b-c+2ac-bc}\\
z & =-\frac{t(2abc+ab-4ac-3bc-2a+b+5c+1)}{-3+a+b-c+2ac-bc}.
\end{align}[/dispmath]
Vracanjem toga u [inlmath](2)[/inlmath] dobijamo konacno resenje
[dispmath]\log_{15}49=\frac{4abc+2ab-8ac-6bc-4a+2b+10c+2}{abc-ab-ac-bc+6a+b-c-3}.[/dispmath]

Ne iskljucujem mogucnost greske (u racunu), stavise, iznenadio bih se da je ceo racun tacan.

Onda će te verovatno iznenaditi moj odgovor – da, potvrđujem da je rezultat tačan. Proverio sam.

Upravo je ovo bila i neka moja ideja rešavanja (i mene bi, naravno, zanimalo da vidim jednostavniji način ako postoji), samo što mislim da nije bilo potrebe [inlmath]\log10[/inlmath] rastavljati kao [inlmath]\log2+\log5[/inlmath], budući da je (pod pretpostavkom da [inlmath]\log[/inlmath] označava logaritmovanje za osnovu [inlmath]10[/inlmath]), [inlmath]\log10=1[/inlmath]. Dakle, [inlmath]b=\log5+\log7[/inlmath]. Takođe, pošto postoji veza između [inlmath]\log2[/inlmath] i [inlmath]\log5[/inlmath], tj. [inlmath]\log2+\log5=1[/inlmath], možemo [inlmath]\log2[/inlmath] pisati kao [inlmath]1-\log5[/inlmath] i time se već osloboditi jedne nepoznate, prema tome, biće
[dispmath]a=\frac{\log3+1}{2-\log5}\\
b=\log5+\log7\\
c=\frac{\log3+\log7-\log5}{3-3\log5+\log7-2\log3}[/dispmath]
Sistem od tri jednačine s tri nepoznate. Sve tri (i samo te tri) nepoznate figurišu u izrazu za [inlmath]\log_{15}49[/inlmath].

hvala puno
a upravo sam krenuo pisati ovo što je daniel napisao da se može dosta olakšati sistem sa te dvije izmjene, kad vidim već napisano