MATEMANIJA

[dispmath]18^x+5\cdot8^x=27^x+5\cdot12^x[/dispmath]
Broj razlicitih resenja jednacine?
Moze predlog samo kako da krenem

rastaviš početnu jednačinu u oblik
[dispmath]2^x\cdot\:3^{2x}+5\cdot\:2^{3x}=3^{3x}+5\cdot\:2^{2x}\cdot\:3^x[/dispmath]
onda to svedeš na oblik
[dispmath]\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}+5=\left(\frac{3}{2}\right)^{3x}+5\cdot\:\left(\frac{3}{2}\right)^x[/dispmath]
te uvedeš smjenu [inlmath]t=\left(\frac{3}{2}\right)^x[/inlmath]
i dobijaš jednačinu trećeg stepena koju je lako rastaviti i riješiti
dobija se na kraju da je [inlmath]x=0[/inlmath] ako ti trebaju samo realna rješenja

p.s. isti tip zadatka ko i desideri što je postavio danas

Može i bez kubne jednačine – ispred leve strane izvučeš [inlmath]2^x[/inlmath], a ispred desne izvučeš [inlmath]3^x[/inlmath]:
[dispmath]2^x\left(9^x+5\cdot4^x\right)=3^x\left(9^x+5\cdot4^x\right)[/dispmath]
Pošto faktor [inlmath]\left(9^x+5\cdot4^x\right)[/inlmath] ne može biti nula (uvek je pozitivan), možemo ga skratiti na levoj i na desnoj strani, te ostaje
[dispmath]2^x=3^x[/dispmath]
To je sad lako...

Hvala lepo, trazi se broj razlicitih resenja i to je jedno resenje ([inlmath]x=0[/inlmath]) tako da to je to

može i tako samo u tom slučaju dobija samo realna rješenja, a ako mu trebaju i rješenja iz skupa kompleksnih mislim da će morati preko kubne jednačine(ja ne vidim drugi način)

p.s. john imaš još dva u kompleksnim brojevima

bole je napisao:p.s. john imaš još dva u kompleksnim brojevima

Slažem se.
Ta dva dodatna su:
[dispmath]x_2=i\sqrt5[/dispmath][dispmath]x_3=-i\sqrt5[/dispmath]
Naravno da stoji i već pokazano:
[dispmath]x_1=0[/dispmath]

desideri je napisao:Ta dva dodatna su:
[dispmath]x_2=i\sqrt5[/dispmath][dispmath]x_3=-i\sqrt5[/dispmath]

To bi, zapravo, bila rešenja za [inlmath]t_1[/inlmath] i [inlmath]t_2[/inlmath].

Ako bi se tražio broj kompleksnih (a ne samo realnih) rešenja po [inlmath]x[/inlmath], tada bi broj rešenja bio beskonačan.

[inlmath]t=1[/inlmath] daje beskonačno mnogo rešenja po [inlmath]x[/inlmath].
Isto tako, i [inlmath]t_{1,2}=\pm i\sqrt5[/inlmath] daje beskonačno mnogo rešenja po [inlmath]x[/inlmath].

desideri je napisao:Ta dva dodatna su:
[dispmath]x_2=i\sqrt5[/dispmath][dispmath]x_3=-i\sqrt5[/dispmath]

Daniel je napisao:To bi, zapravo, bila rešenja za [inlmath]t_1[/inlmath] i [inlmath]t_2[/inlmath].

E baš tako, thanks Danielu na ovoj ispravci kao i na celom prethodnom postu.

Daniel je napisao:[inlmath]t=1[/inlmath] daje beskonačno mnogo rešenja po [inlmath]x[/inlmath].

Daniele nije mi jasan ovaj dio. Kako beskonacno mnogo rjesenja? Valjda tu treba biti jedinstveno realno rjesenje [inlmath]x=0[/inlmath]. A znam da ima beskonacno mnogo kompleksnih rjesenja.

Jeste jedinstveno rešenje [inlmath]x=0[/inlmath] ako se traže samo realna rešenja. Ali, ako rešenja tražimo u kompleksnom domenu, jedinicu koju smo dobili kao jedno od rešenja po [inlmath]t[/inlmath], moramo takođe posmatrati kao kompleksan broj, sa svojim modulom i fazom. Pošto je jedinica kompleksan broj čiji je imaginarni deo jednak nuli, to znači da joj je faza jednaka [inlmath]2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Znači,
[dispmath]t=1\cdot e^{i2k\pi}\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{3}{2}\right)^x=e^{i2k\pi}[/dispmath]
Logaritmujemo obe strane,
[dispmath]x\ln\frac{3}{2}=i2k\pi[/dispmath][dispmath]x=i\frac{2k\pi}{\ln\frac{3}{2}}[/dispmath]
Za [inlmath]k=0[/inlmath] dobije se to jedno (i jedino) realno rešenje. Ostalih kompleksnih rešenja ima beskonačno mnogo, budući da i broj [inlmath]k[/inlmath] može imati beskonačno mnogo vrednosti.


Mada, mislim da smo ovime otišli u debeli offtopic, budući da sam prilično ubeđen da se u zadatku tražio broj samo realnih rešenja.