MATEMANIJA

Pozdrav još jednom, potrebna mi je pomoć oko ovog zadatka, već dugo pokušavam da ga rešim, ali ne ide (danas smo tek radili korenovanje)
[dispmath]\left(\frac{1}{1024}\right)^{\!\frac{\Large-2}{\Large-5}}=\frac{1}{1024^{\frac{2}{5}}}=\frac{1}{\sqrt[{\large5}]{1024}^2}[/dispmath]
Rešenje znam , ali ne znam kako da ga rešim, a da ne kvadriram [inlmath]1024[/inlmath] pa da iz njega izvlačim koren, tj. kako da ga razložim?

P.S. Koren u poslednjem delu ide do kraja, nešto mi i nije ispalo vizuelno najbolje...

[dispmath]\frac{1}{\sqrt[5]{1024^2}}=\frac{1}{4^2}=0.0625[/dispmath]

A ako te buni kako bi se setio da je baš [inlmath]1024=4^5[/inlmath], broj [inlmath]1024[/inlmath] možemo posmatrati i kao stepen dvojke – ako imaš informatiku, onda sigurno znaš da je [inlmath]1024=2^{10}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt[5]{1024}^2}=\frac{1}{\sqrt[5]{2^{10}}^2}=\frac{1}{\left(2^2\right)^2}=\frac{1}{4^2}[/dispmath]

@nikola011,
u naslovu teme ne bi trebalo da se piše reč "pomoć" jer je to donekle u suprotnosti s tačkom 9 Pravilnika foruma Matemanija.
Kažem "donekle" jer nisi baš prekršio Pravilnik, nije samo ta reč u naslovu teme, no te molim da tu reč "pomoć" koja je eksplicitno pomenuta u Pravilniku foruma više ne upotrebljavaš u naslovima budućih tema.

@Daniel, palo mi je to napamet, ali nisam obratio pažnju , hvala obojici.

@desideri, izvinjavam se.

Da ne bih otvarao novu temu - ako neko može da proveri da li sam tačno rešio ovo :
[dispmath]\frac{\sqrt3+2}{\sqrt3+1}-\frac{1}{\sqrt3+3}=\left(\frac{\sqrt3+2}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt3+3}\cdot\frac{\sqrt3-3}{\sqrt3-3}\right)=\\
\left(\frac{3\cancelto{\sqrt3}{-\sqrt3+2\sqrt3}-2}{3\cancel{-\sqrt3+\sqrt3}-1}\right)-\left(\frac{\sqrt3-3}{3\cancel{-3\sqrt3+3\sqrt3}-9}\right)=\left(\frac{3+\sqrt3-2}{3-1}\right)-\left(\frac{\sqrt3-3}{3-9}\right)=\\
\left(\frac{3+\sqrt3-2}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt3-3}{-6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0[/dispmath]

Dobro je sve do poslednjeg koraka. Ne znam sta si uradio tu.
[dispmath]\left(\frac{3+\sqrt3-2}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt3-3}{-6}\right)=\left(\frac{\sqrt3+1}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt3-3}{6}\right)=\frac{2\sqrt3}{3}[/dispmath]
Treba ispraviti i gresku u postavci zadatka. Trebalo bi da bude [inlmath]\sqrt3+1[/inlmath], a ne [inlmath]3-1[/inlmath].

Au, ja sam množio [inlmath]\sqrt3[/inlmath] sa [inlmath]1[/inlmath] umesto da sam sabrao Hvala!

nikola011 je napisao:Da ne bih otvarao novu temu

Slobodno uvek otvaraj novu temu. Mesta za nove teme uvek ima, nema potrebe na tome da se štedi.

nikola011 je napisao:[dispmath]\cdots=\left(\frac{\sqrt3+2}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt3+3}\cdot\frac{\sqrt3-3}{\sqrt3-3}\right)=\\
\left(\frac{3\cancelto{\sqrt3}{-\sqrt3+2\sqrt3}-2}{3\cancel{-\sqrt3+\sqrt3}-1}\right)-\left(\frac{\sqrt3-3}{3\cancel{-3\sqrt3+3\sqrt3}-9}\right)=\cdots[/dispmath]

Kad imaš proizvod oblika [inlmath]\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath], kao u ovom slučaju, uopšte nema potrebe da množiš svaki sa svakim, već odmah vidiš da je u pitanju razlika kvadrata u rastavljenom obliku, tj. [inlmath]\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2[/inlmath]. Dakle, u ovom slučaju, kod [inlmath]\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)[/inlmath] ne množiš svaki sa svakim, već odmah to pišeš kao [inlmath]3-1[/inlmath], tj. kao [inlmath]2[/inlmath]. Isto važi i za proizvod [inlmath]\left(\sqrt3+3\right)\left(\sqrt3-3\right)[/inlmath].