MATEMANIJA

vec imam nesto sto me muci vec duze vrijeme ,, dodjem do samog kraja zadatka ali ne mogu posljednji korak da razumijem evo ovo je taj zadatak: Za koje realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] jednacina [inlmath]\left|x+1\right|+\left|2-x\right|=a^2-1[/inlmath] ima tačno dva rješenja? [inlmath]a[/inlmath] je samo na drugu , ono [inlmath]-1[/inlmath] nije u exponentu od [inlmath]a[/inlmath], ak mi ovo mozes malo pojasnit bio bi ti stvarno zahvalan

[dispmath]\left|x+1\right|+\left|2-x\right|=a^2-1[/dispmath]
Kod rešavanja ove jednačine moramo voditi računa o tome da li su izrazi unutar apsolutnih vrednosti pozitivni ili negativni.
[dispmath]\left|x+1\right|=\left\{
\begin{array}{l l}
x+1 & \quad x+1\ge 0\\
-\left(x+1\right) & \quad x+1<0\\
\end{array}\right.[/dispmath][dispmath]\left|2-x\right|=\left\{
\begin{array}{l l}
2-x & \quad 2-x\ge 0\\
-\left(2-x\right) & \quad 2-x<0\\
\end{array}\right.[/dispmath]
tj.
[dispmath]\left|x+1\right|=\left\{
\begin{array}{l l}
x+1 & \quad x\ge -1\\
-x-1 & \quad x<-1\\
\end{array}\right.[/dispmath][dispmath]\left|2-x\right|=\left\{
\begin{array}{l l}
2-x & \quad x\le 2\\
x-2 & \quad x>2\\
\end{array}\right.[/dispmath]
Znači, karakteristične tačke su [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath], pa pravimo tabelu:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& x<-1 & -1\le x\le 2 & x>2\\ \hline
\left|x+1\right| & -x-1 & x+1 & x+1\\ \hline
\left|2-x\right| & 2-x & 2-x & x-2\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
1. slučaj: [inlmath]x<-1[/inlmath]
[dispmath]\left|x+1\right|+\left|2-x\right|=a^2-1[/dispmath][dispmath]-x-1+2-x=a^2-1[/dispmath][dispmath]-2x=a^2-2[/dispmath][dispmath]x=1-\frac{a^2}{2}[/dispmath]
[dispmath]x<-1\quad\Rightarrow\quad 1-\frac{a^2}{2}<-1\quad\Rightarrow\quad\frac{a^2}{2}>2\quad\Rightarrow\quad a^2>4\quad\Rightarrow\quad\underline{a<-2\;\lor\;a>2}[/dispmath]
Za [inlmath]a<-2\;\lor\;a>2[/inlmath] jednačina će imati jedno rešenje manje od [inlmath]-1[/inlmath]; u suprotnom, neće imati rešenja manja od [inlmath]-1[/inlmath].

2. slučaj: [inlmath]-1\le x\le 2[/inlmath]
[dispmath]\left|x+1\right|+\left|2-x\right|=a^2-1[/dispmath][dispmath]x+1+2-x=a^2-1[/dispmath][dispmath]a^2=4[/dispmath][dispmath]\underline{a=-2\;\lor\;a=2}[/dispmath]
Za [inlmath]a=-2\;\lor\;a=2[/inlmath] rešenje je svako [inlmath]x\in\left[-1,2\right][/inlmath]; u suprotnom, jednačina nema rešenja.

3. slučaj: [inlmath]x>2[/inlmath]
[dispmath]\left|x+1\right|+\left|2-x\right|=a^2-1[/dispmath][dispmath]x+1+x-2=a^2-1[/dispmath][dispmath]2x=a^2[/dispmath][dispmath]x=\frac{a^2}{2}[/dispmath]
[dispmath]x>2\quad\Rightarrow\quad\frac{a^2}{2}>2\quad\Rightarrow\quad a^2>4\quad\Rightarrow\quad\underline{a<-2\;\lor\;a>2}[/dispmath]
Za [inlmath]a<-2\;\lor\;a>2[/inlmath] jednačina će imati jedno rešenje veće od [inlmath]2[/inlmath]; u suprotnom, neće imati rešenja veća od [inlmath]2[/inlmath].


Prema tome, zaključujemo:

[inlmath]1^\circ[/inlmath]
Za [inlmath]a\in\left(-2,2\right)[/inlmath] jednačina nema rešenja;

[inlmath]2^\circ[/inlmath]
Za [inlmath]a\in\left\{-2,2\right\}[/inlmath] rešenje je svako [inlmath]x\in\left[-1,2\right][/inlmath];

[inlmath]3^\circ[/inlmath]
Za [inlmath]a\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath] postoje dva rešenja (i to je onaj slučaj koji nas interesuje), od kojih je jedno manje od [inlmath]-1[/inlmath], a drugo je veće od [inlmath]2[/inlmath]:[dispmath]x_1=1-\frac{a^2}{2}\qquad x_2=\frac{a^2}{2}[/dispmath]

da vidimo jesam li razumio,, svaki onaj slucaj je jedno ajmo reci potencijalno rjesenje i da je rjesenje onaj [inlmath]a[/inlmath] koji se nalazi u 2 intervala,, a da se na kraju ova dva intervala nisu poklopila npr da sam u prvom dobio [inlmath]a>2[/inlmath] i u drugom [inlmath]a<-2[/inlmath] unija [inlmath]a>2[/inlmath] dali bi onda trazio presjek i dali bi mi konacno rjesenje bilo samo [inlmath]a>2[/inlmath] ?

E mogu ti reći da razmišljaš veoma logično, samo, odgovor nije baš jednostavan. Maksimalno uprošćen, glasio bi: u opštem slučaju – ne, ali u ovom našem, posebnom slučaju – da.

Evo prvo odgovora za neki opšti slučaj:

Tvoje pitanje je, dakle: da smo dobili da za [inlmath]x<-1[/inlmath] jednačina ima jedno rešenje kada je [inlmath]a\in\left(2,+\infty\right)[/inlmath], i da za [inlmath]x>2[/inlmath] jednačina ima jedno rešenje kada je [inlmath]a\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath], da li bismo tražili presek tih intervala.

Pretpostavka koju si postavio mogla bi se izreći i na ovaj način: za svako [inlmath]x<-1[/inlmath] postojalo bi neko [inlmath]a>2[/inlmath] za koje bi jednačina bila zadovoljena. (Ova tvrdnja je korektna s obzirom na prirodu izraza [inlmath]x=1-\frac{a^2}{2}[/inlmath] da će on, za vrednosti [inlmath]a>2[/inlmath], dati sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]-1[/inlmath].)

Međutim, kada je [inlmath]a\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath], tada će za neke vrednosti [inlmath]x>2[/inlmath] ova jednačina biti zadovoljena onda kada je [inlmath]a\in\left(-\infty,-2\right)[/inlmath], a za neke onda kada je [inlmath]a\in\left(2,+\infty\right)[/inlmath]. To znači, moguće je da će postojati takve vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(2,+\infty\right)[/inlmath] za koje jednačina neće imati rešenja za [inlmath]x>2[/inlmath]. A to dalje znači, da će za neke vrednosti parametra [inlmath]a\in\left(2,+\infty\right)[/inlmath] jednačina imati dva rešenja (jedno manje od [inlmath]-1[/inlmath], drugo veće od [inlmath]2[/inlmath]), ali se za neke druge vrednosti parametra [inlmath]a\in\left(2,+\infty\right)[/inlmath] može desiti da jednačina ima samo jedno rešenje, tj. ono koje je manje od [inlmath]-1[/inlmath].

Zbog toga je odgovor, za taj opšti slučaj – da se ova dva intervala nisu poklopila, ne bismo do željenog intervala parametra [inlmath]a[/inlmath] mogli doći traženjem preseka. Ne bismo mogli doći ni traženjem unije, niti bilo kako.

Međutim, u ovom našem posebnom slučaju, interval [inlmath]a\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath] smo dobili zbog toga što u izrazu figuriše [inlmath]a^2[/inlmath], tako da je za vrednost izraza svejedno kakav je predznak parametra [inlmath]a[/inlmath], bitno je samo koliko ja [inlmath]a[/inlmath] po apsolutnoj vrednosti. Drugim rečima, [inlmath]a\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath] bi se moglo izraziti i kao [inlmath]a^2\in\left(4,+\infty\right)[/inlmath] i u tom slučaju, za svako [inlmath]x>2[/inlmath] postojalo bi istovremeno i neko [inlmath]a<-2[/inlmath] i neko [inlmath]a>2[/inlmath] takvo da jednačina bude zadovoljena, tako da u tom slučaju – da, možemo tražiti presek ona dva intervala.

Nažalost, nemoguće je za ovakav tip zadataka dati neko univerzalno pravilo. Samo intuicija.


P.S. Ovo mi je 666. post po redu. Na zdravlje!

bitno je da sam ja skonto ajmo ga nazvat okvir ili postupak a ostalo malo i razmisljanju prepustit treba
, idem vjezbat izvode i crtanje funkcija hahahah ae pa ako sta vi od mene zatrebate javite da i ja budem koristan

Daniel je napisao:Prema tome, zaključujemo:

[inlmath]1^\circ[/inlmath]
Za [inlmath]a\in\left(-2,2\right)[/inlmath] jednačina nema rešenja;

Kako ovo? Oli nije [inlmath]a<-2\quad\lor\quad a>2[/inlmath]

Pa, nije.
Taj rezultat koji si ti napisao, da je [inlmath]a<-2\;\vee\;a>2[/inlmath], dobili smo u 1. slučaju (za koji smo pretpostavili [inlmath]x<-1[/inlmath]) i u 3. slučaju (za koji smo pretpostavili [inlmath]x>2[/inlmath]).
To znači, kada je [inlmath]a<-2\;\vee\;a>2[/inlmath], imamo dva rešenja – jedno manje od [inlmath]-1[/inlmath] (koje pripada 1. slučaju), a drugo veće od [inlmath]2[/inlmath] (koje pripada 3. slučaju).

Rezultat [inlmath]a=-2\;\vee\;a=2[/inlmath] dobijamo samo u 2. slučaju (za koji smo pretpostavili [inlmath]-1\le x\le 2[/inlmath]) i taj iskaz je tačan bez obzira na vrednost [inlmath]x[/inlmath], tj. tačan je za svako [inlmath]x[/inlmath] koje se nalazi u tom pretpostavljenom intervalu – [inlmath]\left[-1,2\right][/inlmath].

Rezultat [inlmath]a\in\left(-2,2\right)[/inlmath] ne dobijamo ni u jednom od ova tri razmatrana slučaja, što znači da, kada se [inlmath]a[/inlmath] nalazi u tom intervalu, jednačina nema rešenja.

PS
Ovaj je zadatak već rješen na forumu; link
Indentičan smo danas rješavali u školi na način koji je objašnjen tu

Al' imaš pamćenje, svaka čast.
A jes', i meni je bio nešto poznat.

Jednacina [dispmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/dispmath] ima cetiri realna resenja ako i samo ako parametar [inlmath]a[/inlmath] pripada kom intervalu? Hvala unapred

forzajuve je napisao:Jednacina [dispmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/dispmath] ima cetiri realna resenja ako i samo ako parametar [inlmath]a[/inlmath] pripada kom intervalu? Hvala unapred

Skiciraš najpre grafik funkcije [inlmath]f(x)=\left|-x^2+5x-4\right|[/inlmath]. To uradiš tako što nacrtaš grafik funkcije [inlmath]f(x)=-x^2+5x-4[/inlmath] i deo ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose prebaciš iznad nje.
Dobićeš ovako nešto (ovo moje je vrlo gruba skica)

Za [inlmath]a=0[/inlmath] dobijamo kvadratnu jednačinu [inlmath]-x^2+5x-4 =0[/inlmath] koja ima dva rešenja.
Za [inlmath]a\neq 0[/inlmath] grafik funkcije [inlmath]g(x)=ax[/inlmath] je prava koja prolazi kroz koordinatni početak. Ovde [inlmath]a[/inlmath] pretstavlja koeficijent pravca.
Da bi jednačina [inlmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/inlmath] imala 4 rešenja, ta prava mora seći grafik funkcije [inlmath]f(x)=\left|-x^2+5x-4\right|[/inlmath] u 4 tačke.
Recimo, ovako:

To će biti ispunjeno za sve prave između ove dve naznačene na slici:

Jedna od tih pravih je [inlmath]y=0[/inlmath], pa je njen koeficijent pravca [inlmath]0[/inlmath].
Koeficijent pravca druge prave možemo naći tako što znamo da maksimum funkcije [inlmath]y=-x^2+5x-4[/inlmath] pripada toj pravoj. Kako je to tačka [inlmath]\left(\frac{5}{2},\frac{9}{4}\right)[/inlmath], [inlmath]\frac{9}{4}=k\cdot\frac{5}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]k=0,9[/inlmath].
Zaključujemo da za sve vrednosti [inlmath]a\in\left(0,\frac{9}{10}\right)[/inlmath] polazna jednačina ima 4 rešenja.

Hvala na odgovoru. U resenju stoji da [inlmath]a\in(0,1)[/inlmath]. Deluje mi kao da je malo kompleksniji zadatak. A i na netu sam trazio dosta ovakvih zadataka ali slabo sta sam nasao. Hvala jos jednom. Moracu jos da se pozabavim ovim tipovima zadataka. Ja sam nesto pokusavao ali slabo mi ide sa ovim parametrima

U pravu si za to rešenje [inlmath]a\in\left(0,1\right)[/inlmath], sad proverih na Wolphramalphi.
Milovanu i meni je promaklo to, da ne treba kao graničan slučaj da tražimo da prava [inlmath]ax[/inlmath] sadrži teme kvadratne funkcije, već u graničnom slučaju treba da tangira parabolu, a tačka dodira neće biti teme parabole, već će biti malo „levlje“ od temena.

Zasad imam jednu ideju kako bismo ovo mogli uraditi, a razmisliću da li postoji i još neki lepši način.

Vrednost [inlmath]a[/inlmath] za koje zadata jednačina ima četiri rešenja mogli bismo odrediti tako što postavimo uslov da prava [inlmath]ax[/inlmath] ima dve presečne tačke s ovim „jastučićem“ funkcije, da ga tako nazovem, koji ima teme okrenuto nagore. Taj „jastučić“ je deo kvadratne funkcije [inlmath]-x^2+5x-4[/inlmath]. Znači, treba da izjednačimo [inlmath]-x^2+5x-4[/inlmath] sa [inlmath]ax[/inlmath], pri čemu ćemo dobiti kvadratnu jednačinu, a da bi ta kvadratna jednačina imala dva rešenja, potrebno je da njena diskriminanta bude strogo veća od nule:[dispmath]-x^2+5x-4=ax[/dispmath][dispmath]x^2+\left(a-5\right)x+4=0[/dispmath][dispmath]D=\left(a-5\right)^2-16>0[/dispmath][dispmath]D=a^2-10a+9>0[/dispmath]Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobije se da je [inlmath]a<1[/inlmath] ili da je [inlmath]a>9[/inlmath].
E sad, geometrijski gledano, [inlmath]a<1[/inlmath] odgovara ovom slučaju koji tražimo, tj. tad bismo imali dva preseka s ovim našim „jastučićem“, dok bi [inlmath]a>9[/inlmath] odgovaralo slučaju kada se prava [inlmath]ax[/inlmath] toliko „uspravi“ da počne da preseca levi krak parabole [inlmath]-x^2+5x-4[/inlmath], koji bi se nalazio negde skroz „dole“, u III kvadrantu, ali taj slučaj nas ovde ne interesuje, pošto, zbog apsolutne vrednosti, nama će taj krak, zapravo, biti gore, u II kvadrantu.
Znači, ostaje nam samo [inlmath]a<1[/inlmath], a pošto, kako Milovan napisa, mora biti zadovoljeno i [inlmath]a>0[/inlmath], dobijamo rešenje [inlmath]a\in\left(0,1\right)[/inlmath].

Al' kô što rekoh, razmisliću i da li postoji neko elegantnije rešenje.

Evo još jednog načina.

Jednačinu [inlmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/inlmath] podelimo sa [inlmath]x[/inlmath], čime ne narušavamo jednakost, osim za [inlmath]x=0[/inlmath], ali pošto za [inlmath]x=0[/inlmath] jednačina ionako nije zadovoljena (s leve strane bi bilo [inlmath]4[/inlmath], s desne [inlmath]0[/inlmath]), možemo smatrati da se deljenjem sa [inlmath]x[/inlmath] ništa ne menja:
[dispmath]\frac{\left|-x^2+5x-4\right|}{x}=a[/dispmath]
S desne strane nam je ostala samo konstanta, tj. parametar [inlmath]a[/inlmath], što će dosta olakšati postupak nalaženja broja rešenja jednačine u zavistnosti od [inlmath]a[/inlmath].
Pošto je [inlmath]x=\left|x\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)[/inlmath], možemo pisati
[dispmath]\frac{\left|-x^2+5x-4\right|}{\left|x\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)}=a[/dispmath][dispmath]\left|\frac{-x^2+5x-4}{x}\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)=a[/dispmath][dispmath]\left|x-5+\frac{4}{x}\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)=a[/dispmath]
Izraz s leve strane znaka jednakosti posmatramo kao neku funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i skiciramo grafik te funkcije (onako kako se već ispituje funkcija – domen, nule, ekstremi, asimptote itd).
Grafik funkcije će izgledati ovako (obeleženo crvenom bojom):


Plavom bojom je obeležen pravac [inlmath]y=a[/inlmath], koji odgovara desnoj strani jednačine. Taj pravac, pošto predstavlja konstantu, paralelan je apscisi, a s povećanjem parametra [inlmath]a[/inlmath], translira se prema gore.
[inlmath]x[/inlmath]-koordinate preseka pravca [inlmath]y=a[/inlmath] s krivom funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] predstavljaju rešenja jednačine – prema tome, broj takvih preseka predstavlja broj rešenja jednačine.
Sa grafika se jasno vidi da će broj preseka biti četiri onda kada parametar [inlmath]a[/inlmath] ima vrednosti između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].