MATEMANIJA

Ovako glasi zadatak, na kraju je dato resenje (ispravno) a ovo je postupak kako ja radim, rekao bih da ima greska u [inlmath]II[/inlmath] koraku, ako neko moze da vidi sta tu ne stima.
[dispmath]\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-4x+3\right)\ge-3\;\Rightarrow\;\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-4x+3\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\;\Rightarrow\;\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-4x+3\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}8\\
\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-4x+3\right)-\log_{\frac{1}{2}}8\ge0\;\Rightarrow\;\log_{\frac{1}{2}}\frac{x^2-4x+3}{8}\ge0\;\Rightarrow\;0<\frac{x^2-4x+3}{8}\le1[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
I\\
x^2-4x+3>0\\
D=4\\
x_1=3\\
x_2=1\\
x\in\left(-\infty,1\right)\cup\left(3,+\infty\right)
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{\begin{array}{l}
II\\
x^2-4x+3\le1\\
x^2-4x+2\le0\\
D=8\\
x_1=2+\sqrt2\\
x_2=2-\sqrt2
\end{array}}[/dispmath]
[dispmath]x\in\left[-1,1\right)\cup\left(3,5\right][/dispmath]

U drugom koraku, na levoj strani, treba da bude kroz [inlmath]8[/inlmath], tada je [inlmath]D=36[/inlmath], a resenja jednacine [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath].

Nije mi jasno samo zasto je pocetak zadatka ovoliko zakomplikovan.

pentagram142857 je napisao:U drugom koraku, na levoj strani, treba da bude kroz [inlmath]8[/inlmath], tada je [inlmath]D=36[/inlmath], a resenja jednacine [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath].

Da, tacno ja sam eliminisao [inlmath]8[/inlmath] u prvom delu jer ne utice na znak razlomka ali svakako utice na
[dispmath]\frac{x^2-4x+3}{8}\leq1[/dispmath]
Ilija, sad ne znam u kom smislu zakomplikovano, ja sam ga malo detaljnije napisao da bi se videlo kako sam to uradio (radi uocavanja moguce greske ako je ima).

Ja sam bar ucio da odmah iz osobine [inlmath]\log_ab=x\;\Leftrightarrow\;b=a^x[/inlmath], izrazim:
[dispmath]\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-4x+3\right)\ge-3\;\Rightarrow\;x^2-4x+3\le\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}[/dispmath]
Znak nejednakosti se menja zbog toga sto je osnova manja od jedinice, tj. [inlmath]0<a<1[/inlmath].

Resis ovu nejednacinu i uslov, nadjes presek resenja i to je to. Mislim, nisi ti nesto mnogo zakomplikovao, postupak je generalno isti, samo cini mi se da je moj za nijansu kraci i elegantniji. Mozda je moj postupak pogresan (u opstem slucaju), tako da sam spreman na kritike.

[dispmath]x^2-4x+3\le\left(-3\right)^{\frac{1}{2}}\;\Rightarrow\;x^2-4x+3\le i\sqrt3[/dispmath]
gresku si napravio, po ovome ne pripada [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].
[dispmath]x^2-4x+3\le\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\;\Rightarrow\;x^2-4x+3\le8[/dispmath]
Iz ove se dobijaju samo 2 resenja jer se gube uslovi iz logaritamske. Mozda i ja gresim.

Greska u kucanju. Prema osobini koju sam primenio, trebalo bi da stoji [inlmath]\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}[/inlmath], a ne [inlmath](-3)^{\frac{1}{2}}[/inlmath]. Moze neki moderator da ispravi, a moze da ostane i ovako.

Ispravljeno.