MATEMANIJA

Radim zadatak i nikako ne uspevam da sredim ovaj izraz
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+4x+4}+5}{x^2-2x-3}\!+\!\frac{1}{x^3+1}=\frac{x+7}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\!+\!\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x+7\right)\left(x^2-x+1\right)\!+\!\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]
Resenje treba da bude [inlmath]\displaystyle-\frac{x^2-x}{x^3+1}[/inlmath]

Prvo, ti si ovde [inlmath]\sqrt{x^2+4x+4}[/inlmath] izjednačio sa [inlmath]x+2[/inlmath]. Međutim, to ne važi za svako [inlmath]x[/inlmath]. Haj'mo da vidimo.

Uzmimo da je [inlmath]x=0[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{x^2+4x+4}=x+2\\
\sqrt{0^2+4\cdot 0+4}=0+2\\
\sqrt{4}=2\\
2=2[/dispmath]
to je OK.

Međutim, ako je [inlmath]x=-3[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{x^2+4x+4}=x+2\\
\sqrt{\left(-3\right)^2+4\cdot\left(-3\right)+4}=-3+2\\
\sqrt{9-12+4}=-1\\
\sqrt1=-1\\
1=-1[/dispmath]
Možeš li da nađeš grešku?

---

Osim toga, ni ovo rešenje koje si naveo, [inlmath]\displaystyle-\frac{x^2-x}{x^3+1}[/inlmath], ne dobija se za svako [inlmath]x[/inlmath]. To možeš proveriti uvrštavanjem npr. [inlmath]x=0[/inlmath] u polazni izraz i u zadato rešenje.

U zadatku je sigurno zadat neki interval za [inlmath]x[/inlmath] u kojem treba dobiti to rešenje koje su dali. Molim te da, u skladu s tačkom 11. Pravilnika, napišeš ceo tekst zadatka, sa svim bitnim podacima.

Interval [inlmath]x\in(-\infty,-2)[/inlmath], ja sam pripremio interval ali sam zaboravio da ga uvrstim u poruku :/

E tako, sada već ima smisla. Vrlo je preporućljivo (da ne kažem i obavezno) da uvek napišeš kompletan tekst zadatka (onako kako je izdiktiran ili napisan u zbirci), sve do poslednjeg zareza. Tako sigurno nećeš ništa izostaviti.

Vrlo je bitno da je, po definiciji, [inlmath]\sqrt{x^2}\;\overset{\text{def}}{=\!=}\;\left|x\right|[/inlmath]. Tu mnogi greše, jer jednostavno napišu samo [inlmath]\sqrt{x^2}=x[/inlmath], što ne važi uvek – važi samo onda kada je [inlmath]x\ge0[/inlmath].

Prema tome, u ovom zadatku imaš [inlmath]\sqrt{x^2+4x+4}[/inlmath], to jest [inlmath]\sqrt{\left(x+2\right)^2}[/inlmath], i to je onda, po definiciji, jednako [inlmath]\left|x+2\right|[/inlmath].
[inlmath]\left|x+2\right|[/inlmath] je, opet, jednako:
[dispmath]\left|x+2\right|=\begin{cases}
x+2, & x+2\ge0\\
-\left(x+2\right), & x+2<0
\end{cases}[/dispmath]
to jest
[dispmath]\left|x+2\right|=\begin{cases}
x+2, & x\in\left[-2,+\infty\right)\\
-\left(x+2\right), & x\in\left(-\infty,-2\right)
\end{cases}[/dispmath]
A pošto je u tekstu zadatka rečeno da [inlmath]x[/inlmath] pripada ovom drugom intervalu, [inlmath]\left(-\infty,-2\right)[/inlmath], sledi da je u tom slučaju [inlmath]\left|x+2\right|=-\left(x+2\right)[/inlmath].

Sada ti sigurno neće biti nikakav problem da rešiš zadatak.

Da, sada ispada tacno, krati se sve lepo