MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 27. jun 2009.
10. zadatak

Odrediti realna resenja jednacine [inlmath]5^{x^2}-3^{x^2-1}=3^{x^2+1}-5^{x^2-1}[/inlmath]
[dispmath]5^{x^2}-3^{x^2-1}=3^{x^2+1}-5^{x^2-1}\\
5^{x^2}-\frac{3^{x^2}}{3}=3^{x^2}\cdot3-\frac{5^{x^2}}{5}\\
5^{x^2}-\frac{5^{x^2}}{5}=3^{x^2}\cdot3-\frac{3^{x^2}}{3}\\
5^{x^2}\left(1-\frac{1}{5}\right)=3^{x^2}\left(3-\frac{1}{3}\right)\\
\frac{4}{5}5^{x^2}=3^{x^2}\frac{8}{3}\\
3\cdot5^{x^2}=3^{x^2}\cdot10\\
5^{x^2-1}=2\cdot3^{x^2-1}[/dispmath] Pokusavao sam dovedem do nekog dela gde bih uveo neku smenu ali ne vidim nacin.
Zanima me kako bi moglo da se dodje do realnih resenja

Proveri prelaz iz drugog u treći red
[inlmath]x^2=2[/inlmath] je rešenje.

Da, nepromisljenost, sa obe strane imam oduzimanje i zaboravim da promenim znak
[dispmath]5^{x^2}-\frac{3^{x^2}}{3} =3^{x^2}\cdot3-\frac{5^{x^2}}{5}\\
5^{x^2}+\frac{5^{x^2}}{5}=3^{x^2}\cdot3+\frac{3^{x^2}}{3}\\
5^{x^2}\left(1+\frac{1}{5}\right)=3^{x^2}\left(3+\frac{1}{3}\right)\\
\frac{3}{5}5^{x^2}=3^{x^2}\frac{5}{3}\\
5^{x^2-2}=3^{x^2-2}\\
x^2-2=0\\
x=\pm\sqrt2[/dispmath]

Evo i još jednog načina – pomnožimo obe strane sa [inlmath]15[/inlmath] (NZS njihovih imenilaca) i podelimo sa [inlmath]3^{x^2}[/inlmath] (umesto sa [inlmath]3^{x^2}[/inlmath] mogli smo podeliti i sa [inlmath]5^{x^2}[/inlmath], princip bi bio isti):
[dispmath]5^{x^2}-3^{x^2-1}=3^{x^2+1}-5^{x^2-1}\quad\left/\cdot\;\frac{15}{3^{x^2}}\right.\\
15\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}-5=45-3\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}\\
18\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}=50\\
\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}=\frac{50}{18}=\frac{25}{9}=\left(\frac{5}{3}\right)^2\\
x^2=2\\
x=\pm\sqrt2[/dispmath]