MATEMANIJA

Pozdrav svima.

Potrebno mi je pojašnjenje oko ideja za sređivanje nekih izraza.

1.
[dispmath]a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)[/dispmath]
Odakle ideja da se izraz ovako transformiše? Jasno mi je da je jednakost tačna, samo me interesuje da li postoji neki koncept iza toga.

2.
[dispmath]a^3+b^3+1-3ab=\frac{1}{2}(a+b+1)\left[(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\right][/dispmath]
Isto pitanje i za drugi primer.

Pozdrav.
Da li tekstovi ovih zadataka glase samo „Srediti izraze“? Ništa više?
Ako ima još koja reč u tekstu, možda bi ona mogla da uputi na način kojim bi valjalo krenuti s rastavljanjem, te bi bilo poželjno da ceo tekst zadatka, od reči do reči, citiraš.

Nisam siguran koliko ce ti ovo biti od pomoci (ne znam da li si ucio determinante), ali postoji jedan zanimljiv (bar meni) nacin da se pokaze ovaj identitet (pokazacu prvi, posto je drugi posledica prvog ako izaberemo [inlmath]c=1[/inlmath]). Naime, primetimo
[dispmath]\begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}=a^3+b^3+c^3-3abc.[/dispmath]
Sa druge strane, dodavanjem druge i trece kolone prvoj, dobijamo
[dispmath]\begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a+b+c & b & c\\
c+a+b & a & b\\
b+c+a & c & a
\end{vmatrix}=
(a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
1 & a & b\\
1 & c & a
\end{vmatrix}.[/dispmath]
Odavde ne bi trebalo da imamo problema da zavrsimo zadatak.

@Daniel
1. je zapravo 375. zadatak u zbirci koju sam već spominjao, i glasi ovako:
Neka su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]z^3+pz^2+qz+1=0,\;z\in\mathbb{C}[/inlmath]. Izračunati determinantu
[dispmath]\begin{bmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{bmatrix}[/dispmath]
2. je zapravo 197. zadatak u istoj toj zbirci, i glasi ovako:
Rešiti sistem jednačina ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] su realni parametri):
[dispmath]ax+by+z=a,\\
bx+ay+bz=b,\\
bx+y+az=1.[/dispmath]
U tom 197. zadatku je determinanta sistema zapisana u obliku [inlmath]\frac{1}{2}(a+b+1)[(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2][/inlmath], što umnogome olakšava rad.

@Onomatopeja
Hvala najlepše na pomoći. Pošto sam četvrti razred gimnazije, jesam učio determinante, ali ta ideja mi nije pala na pamet. Da stvar bude još i gora, meni je determinanta bila data, samo je trebalo da primenim tu ideju i zadatak je trivijalan.

E, tako. Uvek treba navesti kompletan tekst zadatka, a vrlo poželjno i izvor.

U međuvremenu, razmišljao sam o još nekom načinu na koji bi se izraz iz prvog zadatka mogao faktorisati (što reče Onomatopeja, kad znamo za prvi zadatak, znaćemo i za drugi). Pa evo, nek se nađe...

Prvo, jasno je da ćemo sabirke [inlmath]a^3[/inlmath], [inlmath]b^3[/inlmath] i [inlmath]c^3[/inlmath] dobiti kada izraz [inlmath]\left(a+b+c\right)[/inlmath] dignemo na [inlmath]3.[/inlmath] stepen, pa bi to mogla biti ideja kako da krenemo:
[dispmath]\begin{align}
\left(a+b+c\right)^3&=\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2+c^2=\\
&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3\left(a^2+2ab+b^2\right)c+3ac^2+3bc^2+c^3=\\
&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+3bc^2+c^3=\\
&=a^3+b^3+c^3+3\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)+6abc
\end{align}[/dispmath]
Sad odatle izrazimo [inlmath]a^3+b^3+c^3[/inlmath]:
[dispmath]a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)-6abc[/dispmath]
Pošto treba da faktorišemo izraz [inlmath]a^3+b^3+c^3-3abc[/inlmath], oduzmemo sada [inlmath]3abc[/inlmath] i od leve i od desne strane:
[dispmath]\begin{align}
a^3+b^3+c^3-3abc&=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)-9abc\\
&=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a^2b+ab^2+abc+b^2c+bc^2+abc+a^2c+ac^2+abc\right)\\
&=\left(a+b+c\right)^3-3\left[ab\left(a+b+c\right)+bc\left(b+c+a\right)+ac\left(a+c+b\right)\right]\\
&=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)\\
&=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ac\right)\right]\\
\end{align}[/dispmath]
Sada je dovoljno primeniti identitet [inlmath]\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/inlmath] (ima ga u ovoj temi) i dobićemo traženi faktorisani oblik.

Jedan od mogucih nacina je i da prvo izrazimo [inlmath]a^3+b^3[/inlmath] iz [inlmath](a+b)^3[/inlmath] (dakle, slicno Danielovoj ideji). Naime, iz
[dispmath](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/dispmath]
dobijamo [inlmath]a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)[/inlmath]. Sada nalazimo
[dispmath]\begin{align}
a^3+b^3+c^3-3abc &= (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\
&= (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)\\
&= (a+b+c)\bigl((a+b)^2-(a+b)c+c^2\bigr)-3ab(a+b+c)\\
&= (a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\
&= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc),
\end{align}[/dispmath]
gde smo jasno koristili formulu za zbir kubova [inlmath]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)[/inlmath].